Математическая энциклопедия - препятствие
Связанные словари
Препятствие
понятие гомотопич. топологии; инвариант, равный нулю, если соответствующая задача разрешима, и отличный от нуля в противном случае.
Пусть (X, А) - пара клеточных пространств и У односвязное (более общо гомотопически простое) топологич. пространство. Можно ли данное непрерывное отображение продолжить до непрерывного отображения Продолжение можно осуществлять по остовам Х п пространства X. Пусть построено такое отображение , что f|A = g. Для любой ориентированной (n+1)-мерной клетки отображение задает отоб ражение (где Sn есть n-мерная сфера) и элемент (именно здесь и используется гомотопич. простота пространства Y, позволяющая игнорировать выбор отмеченной точки). Таким образом, возникает коцепь
Так как для , очевидно, , то на самом деле
Очевидно, тогда и только тогда, когда f продолжается на Х n+1, т. е. коцепь является препятствием к продолжению f на Х п + 1.
Коцепь является коциклом. Ил того, что , вообще говоря, не следует, что gне продолжается на X: f может не продолжаться на Х п+1 в силу неудачного выбора продолжения gна Xn. Может оказаться, напр., что отображение продолжается на Х п + 1, т. е. что продолжение возможно после отступления на один шаг. Оказывается, что П. к этому является класс когомологий то есть тогда и только тогда, когда существует такое отображение , что (в частности, ). Для доказательства этого утверждения используется конструкция различающей.
Так как задачу гомотопич. классификации отображений можно интерпретировать как задачу продолжения, то теория П. применима и к описанию множества [X, Y]гомотопич. классов отображений из X в Y. Пусть I=[0, 1] и пусть подпространство в . Тогда пара отображений f0, f1, : XY интерпретируется как отображение G: А Y, G(x, i)=fi(x), i=0, 1, и наличие гомотопии между f0 и f1 означает наличие отображения F: XX IY, продолжающего отображение G. При этом если гомотопия Fпостроена на re-мерном остове пространства X, то П. к ее продолжению на Xесть различающая
В качестве приложения можно указать описание множества [X, Y]=[X, K(p, n)], n>1, где K(p, п) Эйленберга Маклейна пространство:pi(K(p,n))=0 при , pn(K(p, n))=p. Пусть постоянное отображение, а произвольное непрерывное отображение. Так как Н i (Х;pi (Y)) = 0 при i<n, то f0 и f1 гомотопны на Х п-1 и можно, выбрав какую-нибудь такую гомотопию, определить различающую
Вопрос-ответ:
