Математическая энциклопедия - представление симметрической группы

линейное представление группы Sm над каким-либо полем К. Если char K=0, то все конечномерные П. с. г. вполне приводимы и определены над Q (иначе говоря, все неприводимые конечномерные представления над Q абсолютно неприводимы).

Неприводимые конечномерные представления группы Sm над Q классифицируются следующим образом. Пусть d - какая-либо Юнга диаграмма, отвечающая разбиению l= (l1,...,lr).числа т, Rd (соответственно С d) - подгруппа группы Sm, состоящая из всех подстановок, переводящих каждое из чисел 1,2,..., тв число, находящееся в той же строке (соответственно столбце) диаграммы d. Тогда

и

где разбиение числа т, сопряженное к разбиению l. Существует единственное неприводимое представление группы Sm (зависящее только от l) со следующими свойствами: 1) в пространстве Ul имеется такой ненулевой вектор и d, что Т l(g)ud=ud для любого ; 2) в пространстве Ul имеется такой ненулевой вектор и ^'d, что Т l(g)u^'d=e(g)u^'d для любого , где e(g)=+l четность подстановки g. Представления, отвечающие различным разбиениям, не эквивалентны, и ими исчерпываются все неприводимые представления группы Sm над Q. Векторы и d и u^'d определены однозначно с точностью до умножения на число. Для всех диаграмм, отвечающих разбиению l, эти векторы нормируются таким образом, что gud=ugd и gu^'d=u^'gd для любого , где gd обозначает диаграмму, получаемую из dприменением ко всем числам подстановки g. Векторы и d (соответственно и ^'d), соответствующие стандартным диаграммам d, образуют базис пространства Ul; в этом базисе операторы представления Т l записываются целочисленными матрицами. Размерность представления Т l равна

где li=li+r-i (i=l, . . ., r), а произведение в знаменателе второго выражения берется по всем клеткам cij таблицы Юнга tl, причем lij обозначает длину соответствующего крюка.

Разбиению (т).отвечает тривиальное одномерное представление группы Sm, а разбиению (1,...,1) нетривиальное одномерное представление e (четность). Разбиению l', сопряженному к l, отвечает представление eТ l. Пространство Ul', канонич. образом (с точностью до гомотетии) отождествляется с пространством Ul так, что Tl'(g).e(g).l(g).для любого ; при этом можно считать, что и'd=ud,, где d'диаграмма, получаемая из dтранспонированием.

Построение полной системы неприводимых П. с. г. производится с помощью Юнга симметризаторов, позволяющих получить разложение регулярного представления. Если d - диаграмма Юнга, отвечающая разбиению l, то представление Tl, эквивалентно П. с. г. Sm в левом идеале групповой алгебры , порожденном симметризатором Юнга е d. Апостериорное описание элемента е d состоит в следующем: Tm( е d)=0 при , а Ta( е d) - оператор ранга 1, действующий по формуле Ta( е d) и=( и d, u)u^'d для любого , где ( , ) подходящим образом нормированное инвариантное скалярное умножение в пространстве Ul -При этом

Производящая функция для характеров представлений Т l дается Фробениуса формулой. Однако для вычисления отдельных значений характеров удобнее пользоваться рекуррентными соотношениями. Наиболее эффективным из них является правило Мурнагана Накаямы: пусть значение характера представления Т l на классе сопряженных элементов группы Sm, определенном разбиением m числа m, и пусть разбиение m, содержит число р. Через обозначается разбиение числа m-р, получаемое из m выбрасыванием числа р. Тогда