Математическая энциклопедия - представления классических групп

в тензорах линейные представления групп GL(V), SL(V), 0(V,f), SO(V, f), Sp(V,f).(где V есть n-мерное векторное пространство над полем k, f - невырожденная симметрическая или знакопеременная билинейная форма на V).в инвариантных подпространствах тензорных степеней T^m(V).пространства V. Если k - поле нулевой характеристики, то все неприводимые полиномиальные линейные представления указанных групп реализуются в тензорах.

В случае перечисленные выше группы являются комплексными группами Ли. Для всех них, кроме GL(V), все (дифференцируемые) линейные представления полиномиальны; всякое линейное представление группы GL(V).имеет вид , где , a R - полиномиальное линейное представление. Классические компактные группы Ли Un, SUn, О п, SOn, Spn имеют те же комплексные линейные представления и те же инвариантные подпространства в пространствах тензоров, что и их комплексные оболочки

Поэтому результаты теории линейных представлений, полученные для классических комплексных групп Ли, переносятся на соответствующие компактные группы и наоборот ("унитарный трюк" Вейля). В частности, с помощью интегрирования по компактной группе доказывается полная приводимость линейных представлений классических комплексных групп Ли.

Естественное линейное представление группы GL(V).в пространстве T^m(V).определяется по формуле

В том же пространстве определено линейное представление симметрич. группы Sm:

Операторы этих двух представлений перестановочны; тем самым в T^m(V).определено линейное представление группы . Если char k=0, то пространство T^m(V).может быть разложено в прямую сумму минимальных инвариантных подпространств:

Здесь суммирование происходит по всем разбиениям Кчисла т, содержащим не более пслагаемых, Ul - пространство абсолютно неприводимого представления Tl группы Sm, отвечающего разбиению l(см. Представление симметрической группы),a Vl -пространство нек-рого абсолютно неприводимого представления Rl группы GL(V). Разбиения l удобно представлять в виде наборов (l1, l2, . . ., ln) целых неотрицательных чисел, удовлетворяющих условиям

Подпространство разлагается в сумму минимальных GL(V)-инвариантных подпространств, в каждом из к-рых реализуется представление Rl. Эти подпространства могут быть явно получены применением к T^m(V) Юнга симметризаторов, связанных с разбиением l. Напр., для разбиения l=( т,0, . . ., 0) (соответственно l=(1,...,1,0,...,0) при ) dim Ul = 1 и есть минимальное GL(V)-инвариантное подпространство, состоящее из всех симметрич. (соответственно кососимметрич.) тензоров.

Представление Rl характеризуется следующими свойствами. Пусть подгруппа, состоящая из линейных операторов, к-рые в нек-ром базисе ( е 1,...,е п).пространства Vзаписываются верхними треугольными матрицами. Тогда операторы , имеют единственный (с точностью до числового множителя) общий собственный вектор vl, называемый старшим вектором представления Rl. Соответствующее собственное значение (старший вес представления Rl) равно , где bii есть i-й диагональный элемент матрицы оператора bв базисе (e1 ,. . ., е п).

Представления Rl,, отвечающие различным разбиениям l, не эквивалентны. Характер представления Rl находится по формуле Вейля:

где z1, . . ., z п- корни характеристич. многочлена оператора g, Wl - обобщенный определитель Вандер-монда, отвечающий разбиению l (см. Фробениуса формула), W0- обычный определитель Вандермонда. Размерность представления Rl, равна

,

где li=li+n-i.

Ограничение представления Rl, на унимодулярную группу SL(V).неприводимо. Ограничения на SL(V).представлений Rl, и Rm, эквивалентны тогда и только тогда, когда mi=li+s (s не зависит от i). Ограничение представления Rl группы GLn(k).на подгруппу GLn-1(k) находится по правилу:

где m пробегает все наборы (m1, . . ., m.n-1), удовлетворяющие условию

Для всякой диаграммы Юнга d, отвечающей разбиению l, тензор (обозначения см. в ст. Представление симметрической группы).является результатом альтернирования по столбцам диаграммы dтензора , где ik - номер строки диаграммы d, в к-рой находится число k. Тензоры, построенные таким образом по всем стандартным диаграммам d, образуют базис минимального Sm -инварИантного подпространства , в к-ром реализуется представление Т l, группы Sm.

Линейное представление ортогональной группы 0(V, f) в пространстве T^m(V).устроено следующим образом. Имеется разложение в прямую сумму двух -инвариантных подпространств:

где состоит из бесследных тензоров, т. е. тензоров, свертка к-рых с формой f по любым двум индексам равна нулю, а