Математическая энциклопедия - представление группы

гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований нек-рого множества V. Представление р группы Gпаз. линейным, если Vявляется векторным пространством над нек-рым полем k, а преобразования r(g), , линейными преобразованиями. Часто линейные представления называют для краткости просто представлениями (см. Представлений теория). В теории представлений абстрактных групп наиболее разработанным разделом является теория конечномерных представлений конечных групп (см. Конечной группы представление, Представление симметрической группы). Если Gтонологич. группа, то рассматриваются непрерывные линейные представления группы Gв топологическом векторном пространстве V(см. Непрерывное представление, Представление топологической группы). Если G - группа Ли, а V - конечномерное пространство над или , то непрерывное линейное представление автоматически является вещественно аналитическим. Аналитические и дифференцируемые представления группы Ли можно определить и в бесконечномерном случае (см. Аналитическое представление, Бесконечномерное представление). Всякому дифференцируемому представлению r группы Ли Gсоответствует нек-рое линейное представление ее алгебры Ли дифференциал представления r. Если G - связная группа Ли, то ее конечномерные представления полностью определяются своими дифференциалами. Наиболее разработанные разделы теории представлений топологич. групп это теория конечномерных линейных представлений полупростых групп Ли, к-рая часто формулируется на языке алгебр Ли (см. Конечномерное представление, Представления классических групп, Картана теорема о старшем векторе), теория представлений компактных групп, теория унитарных представлений.

Для алгебраич. групп имеется теория рациональных представлений, во многом аналогичная теории конечномерных представлений групп Ли.

Лит.:[1] Желобенко Д. II., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [2] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [3] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976; [4] Желобенко Д. П., Штерн А. И., Представления групп Ли, М., 1981. А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985