Математическая энциклопедия - представление компактной группы

гомоморфизм компактной группы в группу непрорывных линейных автоморфизмов (комплексного) банахова пространства, непрерывный в сильной операторной топологии.

Пусть Gкомпактная группа, Vбанахово пространство и представление. Если V=H - гильбертово пространство, а j(g) - унитарный оператор для любого , то j наз. унитарным представлением. В Нвсегда существует эквивалентная норма, относительно к-рой данное представление j унитарно.

Всякое неприводимое унитарное представление группы Gконечномерно. Пусть семейство всевозможных попарно неэквивалентных унитарных неприводимых представлений группы G. Всякое унитарное представление j группы Gявляется ортогональной прямой суммой таких однозначно определенных представлений , что каждое j^a является ортогональной прямой суммой нек-рого семейства представлений, эквивалентных r^a.

Если Gконечна, то семейство {r^a } тоже конечно и содержит столько элементов, сколько имеется в Gразличных классов сопряженных элементов (при этом . Задача исследования этих представлений (вычисления их характеров, нахождения явной реализации и т. п.) составляет предмет обширной теории (см. Конечной группы представление).

Если G - связная односвязная компактная группа Ли, а ее комплексификация (см. Комплексификация группы Ли), то описание семейства для G сводится (посредством сужения представлений на G) к описанию семейства всех неприводимых попарно неэквивалентных конечномерных рациональных представлений редуктивной алгебраич. группы . Последнее же семейство, в свою очередь, допускает полное описание с помощью рассмотрения старших весов (см. Представление со старшим вектором).

В современной теории чисел и алгебраич. геометрии рассматриваются l-адические представления компактных вполне несвязных групп (см. [5], [6]).

Лит.:[1] Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [2] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1978; [3] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970; [4] Л енг С., SL2(R), пер. с англ., М., 1977; [5] Гельфанд И. М., Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И., Теория представлений и автоморфные функции, М., 1986; [в] Серр Ж. П., Абелепы l-адичсские представления и эллиптические кривые, пер. с англ., М., 1973; [7] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с англ., т. 1, М., 1948. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985