Математическая энциклопедия - представлений теория

теория, изучающая гомоморфизмы полугрупп (в частности, групп), алгебр или других алгебраич. систем в соответствующие системы эндоморфизмов нек-рой подходящей структуры. Особенно часто рассматриваются линейные представления, т. е. гомоморфизмы полугрупп, групп, ассоциативных алгебр или алгебр Ли в полугруппу, группу, алгебру линейных преобразований нек-рого векторного пространства V. Такое представление наз. также линейным представлением в пространстве V, а Vназ. пространством представления. Часто под П. т. понимают именно теорию линейных представлений. Если пространство Vконечномерно, то его размерность наз. размерностью представления, а само представление конечномерным. Таким образом, различаются конечномерные и бесконечномерные представления. Представление наз. точным, если оно инъективно.

Изучение линейных представлений полугрупп, групп и алгебр Ли сводится к изучению линейных представлений ассоциативных алгебр. А именно, линейные представления полугрупп (линейные представления групп).в пространстве Vнад полем kнаходятся в естественном взаимно однозначном соответствии с представлениями соответствующей полугрупповой (групповой) алгебры над kв пространстве V. Представления алгебры Ли Lнад kвзаимно однозначно соответствуют линейным представлениям ее универсальной обертывающей алгебры.

Задание линейного представления j ассоциативной алгебры Ав пространстве Vравносильно заданию на Vструктуры A-модуля, называемого модулем представления j. При рассмотрении представлений группы G или алгебры Ли Lговорят также о G-модулях или L-модулях (см. Модуль). Гомоморфизмы модулей представлений наз. сплетающими операторами,. Изоморфным модулям соответствуют эквивалентные представления. Подмодуль модуля Vпредставления j это подпространство , инвариантное относительно j; индуцируемое в Wпредставление наз. подпредставлением, а представление, индуцируемое в фактормодуле V/W,- факторпредставлением представления ф. Прямые суммы модулей соответствуют прямым суммам представлений, неразложимые модули неразложимым представлениям, простые модули неприводимым представлениям, а полупростые модули вполне приводимым представлениям. Определяются также тензорное произведение линейных представлений, внешняя и симметрич. степени представления (см. Тензорное произведение представлений).

Наряду с абстрактной (или алгебраической) П. т. существует теория представлений топологич. объектов, напр. топологич. групп или банаховых алгебр (см. Непрерывное представление, Представление топологической группы). О. А. Иванова.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985