Математическая энциклопедия - киллинга вектор

точнее-киллинга векторное поле, или инфинитезимальное

движение,поле скоростей (локальной) однопараметрич. группы движений риманова пространства М. Точнее, векторное поле Xна Мназ. векторным полем Киллинга (к. в. п.), если оно удовлетворяет следующему уравнению Киллинга

где LXпроизводная Ли по направлению X,a gтензорное поле на М, определяющее структуру риманова пространства (риманова метрика). К. в. п. впервые были систематически изучены В. Киллингом [1], к-рый вывел также для них уравнение (*). В полном римановом пространстве любое к. в. п. полно, т. е. является полем скоростей однопараметрич. группы движений. Множество i(М)всех к. в. п. на Мобразует алгебру Ли размерности не более n(n+1)/2, где n=dim М, причем эта размерность равна n(n+1)/2 только для пространств постоянной кривизны. Множество всех полных к. в. п. образует подалгебру в i(M), являющуюся алгеброй Ли группы движений пространства М. Производная Ли по направлению к. в. п. аннулирует не только метрику g, но и все другие поля, к-рые канонически строятся по метрике, напр, тензор кривизны Римана, оператор Риччи и т. д. Это позволяет установить связь между свойствами к. в. п. и тензором кривизны. Так, напр., в точке, где собственные значения оператора Рнччи попарно различны, к. в. п. не может обращаться в нуль.

К. в. п. X, рассматриваемое как функция

на кокасательном многообразии Т*М, является первым интегралом (гамильтонова) геодезич. потока на Т* М, определяемого римановой метрикой. По аналогии, поле Sконтравариантных симметрия, тензоров на Мназ. тензорным полем Киллинга, если соответствующая ему (полиномиальная по слоям) функция

на Т*М является первым интегралом геодезич. потока. Уравнение, задающее тензорное поле Киллинга, также наз. уравнением Киллинга. Множество всех тензорных полей Киллинга, рассматриваемых как функции на Т*М, образует (вообще говоря, бесконечномерную) алгебру Ли относительно скобки Пуассона, задаваемой стандартной симплектич. структурой на Т*М.

Более общо, пусть геометрич. объект порядка k на многообразии М, т. е. GL^k(n)-эквивариантное отображение многообразия реперов порядка кна Мв пространство W, на к-ром действует группа GL^k(n) k -струй в нуле диффеоморфизмов Rⁿ, сохраняющих начало координат. Векторное поле Xна Мназ. инфинитезимальным автоморфизме м, или полем Киллинга объекта Q, если соответствующая ему (локальная) однопараметрич. группа преобразований jt многообразия Миндуцирует группу преобразований многообразия реперов Rep^kM, сохраняющую Уравнение, задающее поля Киллинга объекта Q, наз. уравнением Ли Киллинга, а соответствующий ему оператор оператором Ли.

Лит.:[1] Кilling W., "J. reine und angew. Math.", 1892, Bd 109, S. 121-80; [2] Рашевский II. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [3] Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; [4] Xелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [5] Коbaуashi S., Transformation groups in differential geometry, В.Hdlb.N. Y., 1972; [6] Кumpera A., Spenсеr D., Lie equations. V.1. General theory, N. Y., 1972; [7] Коbayashi S., Nоmizu K., Foundations of differential geometry, v. 2, N. Y., 1969; [8] Егоров И. П., Движения в простран-' ствах аффинной связности, Казань, 1965, с. 5-179.

Д. В. Алексеееский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985