Математическая энциклопедия - киллинга форма

билинейная форма специального вида на конечномерной алгебре Ли, введенная В. Киллингом [1]. Пусть конечномерная алгебра Ли над полем k. К. ф. на алгебре наз. билинейная форма

где tr обозначает след линейного оператора, a ad xобраз хпри присоединенном представлении алгебры т. е: линейный оператор на векторном пространстве определенный правилом операция коммутирования в алгебре Ли К. ф. симметрична. Операторы adx, кососимметричны относительно К. ф., т. е.

Если идеал алгебры то сужение К. ф. на совпадает с К. ф. алгебры Всякий коммутативный идеал содержится в ядре К. ф. Если К. ф. невырождена, то алгебра полупроста.

Пусть характеристика поля кравна 0. Радикал алгебры совпадает с ортогональным дополнением относительно К. ф. к производной подалгебре =. Алгебра разрешима тогда и только тогда, когда т. е. когда B([ х, у],z) = 0 для всех х, у, (критерий разрешимости Картана). Если алгебра нильпотентна, то В( х, y) = 0 для всех Алгебра полупроста тогда и только тогда, когда К. ф. невырождена (критерий полупростоты Картана).

Каждая комплексная полупростая алгебра Ли содержит вещественную форму Г (компактную форму Вейля) (см. Комплексификация алгебры Ли), на к-рой К. ф. отрицательно определена.

Лит.:[1] Killing W., "Math. Ann.", 1888, Bd 31, S. 252-90; 1889, Bd 33, S. 1 48; 1889, Bd 34, S. 57 122; 1890, Bd 36, S. 161-89; [2] Картан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, пер. с франц., М., 1949, с. 259-261; [3] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли, пер. с франц., М., 1976; [4] Капланский II., Алгебры Ли и локально компактные группы, пер. с англ., М., 1974; [5] Наймарк М. А., Теория представлений групп, М., 1976.

Д. П. Желобенко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985