Математическая энциклопедия - клиффорда алгебра

конечномерная ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом, впервые рассмотренная У. Клиффордом (W. Clifford) в 1876. Пусть К - коммутативное кольцо с единицей, Есвободный K-модуль, Q - квадратичная форма на Е. К. а. квадратичной формы Q(или пары ( Е. Q ))наз. факторалгебра С(Q)тензорной алгебры Т(Е)А-модуля Епо двустороннему идеалу, порожденному элементами вида где Элементы из Еотождествляются с соответствующими классами смежности в C(Q). Для любых имеет место тождество xу + уx=Ф(x,у)-1, где Ф :ассоциированная с Qсимметрическая билинейная форма. Для нулевой квадратичной формы Qалгебра С(Q)совпадает с внешней алгеброй K -модуля Е. Если Х= Rполе действительных чисел, a Qневырожденная квадратичная форма на n-мерном векторном пространстве Енад R., то C(Q)совпадает с алгеброй ^l А п+1 альтернионов, где lчисло положительных квадратов в канонич. виде формы Q.

Пусть е 1,. . ., е nбазис if-модуля Е, тогда элементы 1, е i1 ... е ik(i1<...<ik) образуют базис К- модуля C(Q). В частности, C(Q)является свободным К-модулем ранга 2ⁿ. Если, кроме того, е 1,. . ., е п ортогональны относительно Q, то С(Q)можно задать как К-алгебру с образующими 1,е 1, .... е п и определяющими соотношениями е i е j= -ejei и Подмодуль C(Q), порожденный произведениями четного числа элементов из Е, образует подалгебру в C(Q), к-рая обозначается через C⁺(Q).

Пусть Кполе и квадратичная форма Qневырождена. При четном палгебра С(Q)является центральной простой алгеброй над Кразмерности 2Щ, подалгебра С+ (Q)сепарабельна, а ее центр Zимеет размерность 2 над К. Если Калгебраически замкнуто, то при четном п С(Q).матричная алгебра, a C⁺(Q)произведение двух матричных алгебр (если же пнечетно, то, наоборот, C⁺(Q)матричная, a C(Q)произведение двух матричных алгебр).

Обратимые элементы s алгебры С(Q)(соответственно С ⁺(Q))такие, что sEs^-1 = E, образуют группу Клиффорда G(Q)квадратичной формы Q(соответственно специальную группу Клиффорда G+ (Q). Ограничение преобразований

на подпространство Еопределяет гомоморфизм j: G(Q)->O(Q), где O(Q)ортогональная группа квадратичной формы Q. Ядро Кеr j состоит из обратимых элементов алгебры Z и Если пчетно, то j(G(Q)) = O(G),a j(G+(Q)) = O+(Q)есть подгруппа ин; декса 2 в O(Q), совпадающая со специальной ортогональной группой SO(Q)в случае, когда характеристика Котлична от 2. Если пнечетно, то

Пусть Р : C(Q)->C(Q)антиавтоморфизм К. а. C(Q), индуцированный антиавтоморфизмом

тензорной алгебры Т(Е). Группа

наз. сп и норной группой квадратичной формы Q(или К. a. C{Q)).

Гомоморфизм j : имеет ядро

Если k = C или k=R и Qположительно определена, то Imj=0⁺ (Q) = SO(Q)и Spin(Q) совпадает с классической спинорной группой.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Элементы математики, пер. с франц., М., 1966; [2] Дьёдонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [3] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, М., 1972; [4] Сartan E., Lecons sur la theorie des spineurs, P., 1938.

П. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985