Математическая энциклопедия - кодаиры теорема

об обращении в нуль, теорема Кодаиры об исчезновении,теорема о равенстве нулю групп когомологий i<dim X, где пучок голоморфных сечений отрицательного векторного расслоения L ранга 1 на компактном комплексном многообразии X. Эквивалентная формулировка К. т. состоит в том, что

для любого положительного векторного расслоения ранга 1 (здесь К X обозначает каноническое линейное расслоение на X). В терминах дивизоров К. т. формулируется как равенство Н'( Х, О X(-D)) = 0 для i<dim Xи любого дивизора Dтакого, что для некоторого nD является гиперплоскнм сечением в каком-либо проективном вложении многообразия X.

К. т. была доказана трансцендентными методами К. Коданрой [1] (см. также [2]) как обобщение на случай произвольной размерности классич. теоремы о регулярности присоединенной системы на алгебраич. поверхности. Существует пример нормальной алгебраич. поверхности над полем положительной характеристики, для к-рой К. т. неверна [4]. Неизвестно (1978), справедлива ли К. т. для неособого алгебраич. многообразия над полем положительной характеристики.

К. т. справедлива и для голоморфных векторных расслоений произвольного ранга, отрицательных в смысле Накано. Обобщением К. т. является также следующий результат:

где Lслабо положительное векторное расслоение ранга r на компактном комплексном многообразии X, пучок голоморфных форм степени рсо значениями в L. Для слабо отрицательных векторных расслоений Lобращение в 0 имеет место при Аналоги этих теорем получены для слабо 1-полных многообразий X, т. е. многообразий, допускающих гладкую плюрисубгармонич. функцию y такую, что множества y(x)<с} относительно компактны в Xдля всех cОR, и для компактных комплексных пространств X, обладающих n=dim Xалгебраически независимыми мероморфными функциями [5].

Лит.:[1] Коdairа К., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1953, v. 39, p. 1268-73; [2] Уэллс Р., Дифференциальное исчисление на комплексных многообразных, М., 1976; [3] Мumford D., "Amer. J. Math.", 1967, v. 89, № 1, p. 94-104; [4] Zariski O., Algebraic surfaces, B.Hdlb.-N. Y., 1971; [5] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 93-171.

И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985