Математическая энциклопедия - коэрцитивная краевая задача

краевая задача, удовлетворяющая коэрцитивности неравенству. Иногда К. к. з. для эллиптич. уравнений наз. эллиптическими краевыми задачами 14].

Пусть однородный многочлен степени 2т и

эллиптич. уравнение порядка 2т. Для уравнения (1) в полупространстве рассматривается краевая задача с граничными условиями

где однородные многочлены степеней

Задача (1), (2) коэрцитивна в если порядки всех операторов qj относительно меньше 2т и если эта задача не имеет ограниченных решений вида

Многочлен относительно t имеет в верхней полуплоскости ровно ткорней Если все эти корни различны, то отсутствие ограниченных решений вида (3) у задачи (1), (2) эквивалентно выполнению неравенства

Это условие иногда наз. условием дополнительности. Краевая задача

для линейного эллиптич. уравнения порядка 2т в области G коэрцитивна в точке х 0 границы Г области G,. если коэрцитивна задача

где однородные составляющие самой высокой степени соответствующих полиномов.

Для исследования К. к. з. успешно применяется метод выпрямления границы. Некоторым гомеоморфным отображением окрестность U(X). точки Xграницы Г области G отображается так, чтобы пересечение переходило в нек-рую область плоскости у п=0, а в полупространство переменных y1 ..., yn. В результате такого отображения К. к. з. для произвольной области G с достаточно гладкой границей Г редуцируется к исследованию задачи для

Условие (4) для задачи (5) означает, что характеристич. направление системы дифференциальных операторов

заданных в окрестности точек границы Г области G, ни в одной точке Г не является касательным к Г. При выполнении этого условия для решения изадачи (5) имеет место коэрцитивная оценка

где норма в пространстве Соболева оценивается через норму ц в и нормы / в j=1, . . . , т, причем порядок оператора д j.

Понятие К. к. з. обобщается и на эллиптич. системы уравнений. Методы исследования и результаты, справедливые для К. к. з. для одного эллиптич. уравнения, обобщаются и на К. к. з. для эллиптич. систем (3). Исследование К. к. а. для эллиптич. уравнений и систем часто редуцируется, напр. параметрами методом, к исследованию системы сингулярных интегральных уравнений. Эта система является нётеревой системой интегральных уравнений (см. [2], [6]), а условие (4), или в случае системы аналог этого условия, гарантирует нормальность системы интегральных уравнений. К. к. з. всегда нётерова, т. е. неоднородная задача разрешима при соблюдении конечного числа условий ортогональности, наложенных на правые части уравнений системы и на заданные функции в краевых условиях, а соответствующая однородная задача имеет конечное число линейно независимых решений.

Примером К. к. з. для любого эллиптич. уравнения может служить задача Дирихле. В этом случае

где означает производную по направлению конормали для данного эллиптич. оператора. Однако задача Дирихле уже не для всякой эллиптич. системы является К. к. з. Примером таких систем может служить система двух уравнений, к-рая в комплексной записи наз. Бицадзе уравнением.

Лит.:[1] Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; [2] Лопатинский Я. Б., "Укр. матем. ж.", 1953, т. 5, № 2, с. 12351; [3] Миранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957; [4] Xёрмандер Л., Линейные дифференциальные операторы с частными производными, пер. с англ., М., 1965; [5] е г о ж е, "Математика", 1960, т. 4, № 4, с. 37-73; [6] Шапиро 3. Я., "Матем. сб.", 1951, т. 28, с. 55-78. А. И. Янушаускас.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985