Математическая энциклопедия - коэна - маколея кольцо

маколеево к о л ь ц о, коммутативное локальное нётерово кольцо А, глубина prof Aк-poro равна его размерности dim А. Гомологич. характеризация К.М. к. Асостоит в том, что группы или группы локальных когомологий обращаются в нуль при всех здесь m максимальный идеал, a kполе вычетов А. Можно дать определение К.-М. к., используя понятие регулярной последовательности. Так называется последовательность элементов m такая, что для всех iэлемент а i не делит нуль в Локальное кольцо Аназ. К.М. к., если существует регулярная последовательность для к-рой факторкольцо артиново. В этом случае

Если простой идеал в К.М. К. А , то для его высоты (см. Высота идеала).выполняется соотношение

В частности, К.М. к. равноразмерное и цепное. Фундаментальным результатом о К. -М. к. является следующая теорема о несмешанности. Пусть Аесть d-мерное К.М. к., а %, . . ., ak - последовательность элементов Аи Тогда последовательность а 1( . . ., ak регулярна, и идеал несмешанный, т. е. любой простой идеал, ассоциированный с имеет высоту kи ковысоту d-k. Теорема о несмешанности была доказана Ф. Маколеем [1] для кольца многочленов и И. Коэном [2] для кольца формальных степенных рядов.

Примеры К.М. к. Регулярное локальное кольцо (и, вообще, любое кольцо Горенштейна) является К.М. к.; любое артиново кольцо, любое одномерное приведенное кольцо, любое двумерное нормальное кольцо являются К.М. к. Если А - локальное К.М. к., то такими же будут его пополнение, кольцо формальных степенных рядов над Аи любое конечное плоское расширение. К.М. к. будет и полное пересечение в К.М. к. А, т. е. факторкольцо вида где последовательность в], . ., а k регулярна. Наконец, локализация К.М. к. в простом идеале снова является К.М. к. Ото позволяет расширить определение К.М. к. на произвольные кольца и схемы. А именно, нётерово кольцо А(схема X).наз. кольцом Коэна Маколея (схемой Коэна Маколея), если для любого простого идеала (соответственно любой точки ) локальное кольцо (соответственно ) является К.М. к. В этом более широком смысле К.М. к. является кольцо многочленов над полем и даже над любым К.М. к., а также полугрупповое кольцо где G выпуклый многогранный конус в (см. [6]).

К.М. к. стабильны и при переходе к кольцам инвариантов. Если G конечная группа, действующая на К.М. к. А, причем ее порядок обратим в Л, то кольцо инвариантов А ^G также есть К.М. к.

Для градуированного кольца Асвойство быть К.М. к. проявляется в когомологиях обратимых пучков на проективной схеме (см. [4]). Если однородное кольцо Аконуса в А ⁿ⁺¹, связанного с проективным многообразием является К.М. к., то Xназ. арифметическим многообразием Коэна Маколея. В этом случае кольцо Аизоморфно для всех и для где есть v-я тензорная степень поляризующего обратимого пучка на X. Этим свойством обладают проективные пространства и их произведения, полные пересечения, многообразия Грассмана и подмногообразия Шуберта [7], многообразие флагов и обобщенное многообразие флагов [8].

Модуль Мнад локальным кольцом Аназ. модулем Коэна Маколея, если его глубина равна размерности. На модули Коэна Маколея распространяются многие результаты о К.М. к.; напр., носитель такого модуля равноразмерен. Существует гипотеза, что любое полное локальное кольцо обладает модулем Коэна Маколея Мтаким, что dim M=dim A.

Лит.:[1] Macaulay P. S., The algebraic theory of modular systems, Camb., 1916; [2] С о h e n I. S., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1946, v. 59, p. 54-106; [3] 3 a p и с с к и и (3., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер-, с англ., т. 2, М., 1963; [Л] М а м ф о р д Д., Лекции о кривых на алгебраической поверхности, пер. с англ., М., 1968; [5] С е р р Ж.-П., "Математика", 1963, т. 7, № 5, с. 3-93; [6] Н о с h s t е г М., "Ann. Math.", 1972, v. 96, p. 318-37; [7] е г о же, "J. Algebra", 1973, v. 25, р. 40-57; [8] К е m р t G.R., "Ann. Math.", 1976, v. 103, p. 557 91. B. И. Данилов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985