Математическая энциклопедия - крылова - боголюбова метод усреднения

метод, применяемый в теории нелинейных колебаний для исследования колебательных процессов, основанный на принципе усреднения (осреднения), заменяющем точное дифференциальное уравнение движения усредненным.

Различные схемы усреднения (Гаусса, Фату, Делоне Хилла и др.) широко применялись в небесной механике еще задолго до работ Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Разработка общего алгоритма, получившего название методаусреднения Крылова Боголюбова, и теорема о близости решений точной и усредненной систем принадлежат Н. М. Крылову и Н. Н. Боголюбову (см. [1], [2]). Создание строгой теории метода усреднения, исчерпывающее выяснение сущности общего принципа усреднения принадлежат Н. Н. Боголюбову (см. [3], [4]), к-рый показал, что метод усреднения связан с существованием нек-рой замены переменных, позволяющей исключить время tиз правых частей рассматриваемых уравнений с наперед заданной степенью точности относительно малого параметра е; он же обосновал асимптотич. характер приближений, получаемых методом усреднения, и установил соответствие между решениями точных и усредненных уравнений на бесконечном временном интервале. Эти результаты получили дальнейшее развитие в работах Ю. А. Митропольского и др. (см. [5]-[8]) и применяются для изучения нелинейных колебаний.

Система уравнений, для к-рых разработан К.Б. м. у., имеет стандартный вид:

где t время, е малый положительный параметр. Основные предположения, при к-рых рассматривается система (1), сводятся к достаточной гладкости функции Xпо l, x и нек-рой "возвращаемости" ее по t, обеспечивающей существование среднего значения

напр, периодичности или почти периодичности Xпо t. Согласно К.Б. м. у. т-е приближение к решению x=x(t)системы (1) определяется выражением

в к-ром решение "усредненного" уравнения

функции, подбираемые из

условия, чтобы выражение (2) удовлетворяло уравнению (1) с точностью до величин порядка и чтобы Fj обладали по tтой же возвращаемостью, что и правая часть системы (11. Функции Fj находятся элементарно, функции Р j определяются в результате усреднения правой части системы (1) после подстановки в нее выражения (2). Так, в частности, для системы (1) с периодической по tправой частью, когда

функция F1 определяется по (3) согласно формуле

функции Fm и Р m при определяются по соотношению

аналогичными формулами. Обоснование метода усреднения сводится к следующему: 1) установление оценки

где при постоянная, не зависящая от 2) доказательство существования решения x=x0(t).системы (1), находящегося в достаточно малой окрестности положения равновесия усредненной системы:

и установление свойств устойчивости, периодичности или почти периодичности этого решения; 3) доказательство существования интегрального многообразия t:

системы (1), находящегося вблизи периодической траектории усредненной системы:

и исследование поведения решении системы (1), начинающихся в окрестности многообразия т.

Лит.:[1] Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н., Приложение методов нелинейной механики к теории стационарных колебаний, К., 1934; [2] их же, Введение в нелинейную механику, К., 1937; [3] Б о г о л ю б о в Н. Н., О некоторых статических методах в математической физике, К., 1945; [4] его ж е, "Сб. трудов Ин-та строительной механики АН УССР" 1950, № 14, с. 9-34; [5] Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, 3 изд., М., 1963; [6] Митропольский Ю. А., Метод усреднения в нелинейной механике, К., 1971; [7] его же, Нестационарные процессы в нелинейных колебательных системах. К., 1955; [8] В о л о с о в В. М., в кн.: Механика в СССР sa 50 лет, т. 1, М., 1968, с. 115 35.

А. М. Самойленко.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985