Математическая энциклопедия - ландау кинетическое уравнение

кинетическое уравнение для слабо взаимодействующего газа, в частности уравнение переноса заряженных частиц в плазме с учетом кулоновских столкновений. Получено Л. Д. Ландау (см. [1], [2]). Для систем с кулоновским взаимодействием при выводе Л. к. у. коэффициенты уравнения содержат расходящийся интеграл ("кулоновский логарифм": логарифм отношения максимального и минимального прицельного параметра при столкновении двух заряженных частиц аи b). Чтобы получить приближенный нерасходящийся результат, интеграл "обрезают": за верхний предел интегрирования берется длина электростатич. экранирования Дебая, за нижний расстояние ближнего взаимодействия (или квантовомеханич. длина волны). Наложенное извне "обрезание" интеграла, не вытекающее из самого вывода Л. к. у., оставляет открытым вопрос о построении адекватного кинетич. уравнения для систем с кулоновским взаимодействием. Были предложены (см., напр., [3]) различные виды таких уравнений (также не свободные от расходимостей). В этих уравнениях учитывается динамич. экранирование, зависящее от скоростей частиц.

Для разреженного газа пробных частиц, взаимодействующих с равновесным фоном, Л. к. у. переходит в линейное уравнение Фоккера Планка. Для неоднородной плазмы интеграл столкновений Ландау следует добавить в правую часть Власова кинетического уравнения. Полученное уравнение наз. уравнением Власова Ландау (см. [3]).

Для смеси частиц нескольких типов систему Л. к. у. можно записать в виде

где ( гr, v, t) - функция распределения для частиц типа а в 6-мерном фазовом пространстве координат rи скоростей v(t - время). Функция описывает источники частиц, I а - интеграл столкновений, к-рый можно привести к виду

где суммирование подразумевается по одинаковым индексам i, j от 1 до 3, масса и заряд частиц типа а, е - заряд электрона,

потенциалы, введенные в [2], кулоновские логарифмы, зависящие от средних энергий частиц. Интеграл столкновений (2) содержит эллиптич. дифференциальный оператор по скорости, коэффициенты к-рого выражаются через интегральные операторы типа потенциала от Для неоднородной плазмы

где сила, действующая на частицы типа а.

Л. к. у. позволяют получить гидродннамич. уравнения сохранения для плотностей массы, импульса и внутренней энергии, а также Болъцмана Н-теорему.

Существование обобщенного решения Л. к. у. доказано в малом (см. [4]).

Численное решение Л. к. у. на ЭВМ проводилось для расчета утечки частиц из открытых магнитных ловушек (см. [5]), определения коэффициента умножения энергии в тороидальных термоядерных реакторах (см. [61), оценки дополнительных методов нагрева плазмы в токамаках. В условиях хорошего удержания плазмы в магнитных ловушках необходимо использовать полностью консервативные разностные схемы (см. [7]), точно сохраняющие для решения Л. к. у. полное число частиц и их энергию.

Лит.:[1] Ландау Л. Д., "Phys. Z. Sowjetunion", 1936, Bd 10, Hft 2, S. 154-64; его же, "Ж. эксперимент. и теоретич. физики", 1937, т. 7, № 2, с. 203-209; [2] Трубников Б. А., в кн.: Вопросы теории плазмы, в. 1, М., 1963, с. 98-182; [3] Балеску Р., Равновесная и неравновесная статистическая механика, пер. с англ., т. 1-2, М., 1978; [4] Ар с ен ье в А. А., Песков Н. В., "Ж. вычисл. матем. и матем. физики", 1977, т. 17, № 4, с. 1063-68; [5] К и л л и н Д ж., Маркс К. Д., в кн.: Вычислительные методы в физике плазмы, пер. с англ., М., 1974; с. 417-82; [6] К и л л и н Дж., М и р и н А., Р е н с и н к М., в кн.: Управляемый термоядерный синтез, пер. с англ., М., 1980, с. 419-67; [7] Самарский А. А., Теория разностных схем, М., 1977. В. А. Чуянов,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985