Математическая энциклопедия - линделёфа принцип

основной качественный вариационный принцип в теории конформного отображения, найденный Э. Линделёфом [1]. Пусть односвязные области Dи на плоскости комплексного переменного z таковы, что их границы Г и соответственно состоят из конечного числа жордановых дуг, причем содержится в D, и пусть точка Пусть, кроме того, функции, реализующие конформное отображение соответственно Dи на единичный круг причем Принцип Л и н д е л ё ф а состоит в том, что при этих условиях: 1) прообраз области Х при отображении w=f(z).лежит внутри прообраза этой же области при отображении w=f(z). причем соприкосновение их границ возможно лишь, если , причем знак равенства возможен лишь, если

3) если существует общая точка z1 контуров

то

причем знак равенства возможен лишь, если Иными словами, при вдавливании внутрь границы Г области D:1) все линии уровня т. е. прообразы окружностей сжимаются; 2) растяжение в точке z0 увеличивается; 3) растяжение в неподвижных точках z1 границы уменьшается.

Из приведенной формулировки Л. п. вытекает также, что длина образа дуги границы Г, подвергшейся вдавливанию до дуги всегда не превосходит длины образа (длина ), причем равенство имеет место только в случае Это следствие Л. п. известно также как принцип М о н т е л я.

В более общей ситуации, когда конечносвязные области, ограниченные конечным числом жордановых кривых и расположенные соответственно в плоскостях zи w, w=f(z) - мероморфная функция в значения к-рой лежат в D, Л. п. состоит в следующем. Если w0 точка образа области

множество точек для к-рых mv - кратность нуля zv функции f(z)-w0; Грина функция области Dс полюсом zv, a g(w, w0) - функция Грина области Dс полюсом w0, то имеет место неравенство

для всех При этом если в (1) имеет место равенство хотя бы в одной точке то оно выполняется всюду в В частности, неравенство

вытекающее из (1), и было получено Э. Линделёфом в [1]. Оно означает, что образ области всегда расположен внутри области

Л. п. в общем виде (1) применим и для произвольных областей но заключение, относящееся к случаю равенства, здесь уже, вообще говоря, не справедливо. Л. п. позволяет получить многие количественные оценки изменения конформного отображения при вариации области (см. [3]). Он тесно связан с подчинения принципом, и его можно также рассматривать как обобщение Шварца леммы.

Лит.:[1] Lindelof Е., "Acta soc. sclent, fenmca", 1908. v. 35, № 7; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; [4] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 2, М., 1962; [5] Лаврентьев М. А., Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа, М., 1962. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985