Математическая энциклопедия - линдемана теорема

показательная функция е ^z в любой алгебраич. точке принимает трансцендентное значение; доказана Ф. Линдеманом (F. Lindemann, 1882). Л. т. называют также следующее более общее утверждение, сформулированное без доказательства Ф. Линдеманом и доказанное К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в 1885.

Пусть алгебраич. числа, попарно различимые алгебраич. числа, тогда

Это утверждение эквивалентно следующему: если алгебраич. числа, линейно независимые над полем рациональных чисел, то числа алгебраически независимы.

Метод доказательства Л. т. получил название м е-тода Э р м и т а Линдемана. Он представляет собой развитие метода Эрмита, при помощи к-рого в 1873 была доказана трансцендентность числа е, и основывается на применении Эрмита тождества к нек-рым специально построенным многочленам.

Из Л. т. может быть выведена трансцендентность числа p, отрицательное решение проблемы квадратуры круга, а также трансцендентность значений функций sinz, cosz, tgz при алгебраическом и значений функций lnz при алгебраическом , 1.

Лит.:[1] Г е л ь ф о н д А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; [2] Фельдман Н. И., Шидловский А. Б., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 3, с. 3-81. А. И. Галочкнн.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985