Математическая энциклопедия - лиувилля уравнение

уравнение движения для функции распределения wN(p, q; t).по импульсам и координатам N- частичной классич. системы

где H гамильтониан системы, а фигурными скобками обозначены классич. скобки Пуассона.

Если в фазовом пространстве ( р, q).распределению wN(p, q; t).сопоставить плотность фазовых точек (каждая из к-рых соответствует определенному механич. состоянию данной системы Nматериальных точек), то в силу того, что траектории движения этих точек не пересекаются вследствие единственности решений уравнений движения механики, и того, что фазовый объем согласно Лиувилля теореме сохраняется, ансамбль этих точек образует в фазовом пространстве своеобразную несжимаемую жидкость, полная производная плотности к-рой wN по времени равна нулю:

Это приводит к Л. у., если только выразить согласно Гамильтона уравнениям производные от координат и импульсов через соответствующие частные производные от гамильтониана.

Л. у. используется не только при рассмотрении общих вопросов статистич. механики, связанных с выяснением микроскопической и макроскопической структур состояния системы многих тел, процессов стремления к равновесию, проблем "перемешивания" в фазовом пространстве, эргодичности и т. д., но и в конкретных исследованиях, т. к. Л. у. является исходным уравнением при построении Боголюбова цепочки уравнений, а следовательно, и для различного типа кинетич. уравнений, с помощью к-рых решаются уже прикладные физич. задачи.

В случае квантовых систем роль Л. у. играет уравнение движения для статистич. оператора (плотности матрица), к-рое в шрёдингеровском временном представлении имеет вид

где Н - оператор Гамильтона, а фигурными скобками обозначены квантовые скобки Пуассона. Это квантовое Л. у. является следствием структуры смешанного состояния (описываемой данным статистич. оператором), в к-ром каждое из составляющих его чистых квантово-механич. состояний эволюционирует согласно Шрёдингера уравнению.

Лит.:[1] Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., М., 1957; [2] У л е н б е к Д., Форд Д ж., Лекции по статистической механике, пер. с англ., М., 1965; [3] Боголюбов Н. Н., Избр. труды, т. 2, К., 1970.

И. А. Квасников.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985