Математическая энциклопедия - милнора сфера

гладкое многообразие, гомео-морфное (кусочно линейно изоморфное) сфере S", но не диффеоморфное ей. Впервые пример такого многообразия был построен Дж. Милнором в 1956 (см. [1]); этот же пример первый пример гомеоморфных, но не диффеоморфных многообразий.

Построение М. с. Любое гладкое замкнутое многообразие, гомотопически эквивалентное сфере S", при гомеоморфно (и даже кусочно линейно изоморфно) сфере (см. Пуанкаре гипотеза обобщенная, h-кобпрдизм). Сигнатура замкнутого гладкого почти параллелизуемого многообразия размерности делится на число sk , экспоненциально растущее с ростом k. Для любого кимеется параллелизуемое многообразие сигнатуры 8 (именно, древовидное многообразие Милнора), край к-рого есть при гомотопическая сфера (см. [2]). Если бы Мбыло диффеоморфно сфере , то многообразие , полученное из добавлением конуса над краем, было бы гладким почти параллелизуемым замкнутым многообразием сигнатуры 8. Таким образом, Месть М. с.

Имеется и др. пример М. с. (см. [5]).

Классификация М. с. Имеется 28 различных (не диффеоморфных) 7-мерных М. с. (в эти 28 многообразий включена стандартная сфера S ⁷, и в дальнейшем термин "М. с." используется и для обозлачения стандартной сферы S ⁿ).

Множество всех гладкостей на кусочно линейной сфере (точнее, сглаживаний, но для сфер это одно и то же) эквивалентно множеству элементов группы Последняя группа при i<7 тривиальна, так что любая М. с. размерности, меньшей 7, диффеоморфна стандартной.

Пусть множество классов h-кобордантности n-мерных гладких многообразии, гомотопически эквивалентных сфере S ⁿ. Операция связной суммы превращает это множество в группу, где нуль класс h- кобордантности сферы Sⁿ. При n>5 элементы группы qn находятся во взаимно однозначном соответствии с классами диффеоморфности n-мерных М. с. Для вычисления групп qn n>5, задается (см. [3]) тривиализация стабильного нормального расслоения (оснащение) М. с. М ^п. Это возможно, так как М ^п стабильно параллелизуемо. Полученное оснащенное многообразие определяет элемент стабильной гомотопич. группы

Этот элемент зависит, вообще говоря, от выбора оснащения ("многозначное отображение"). Пусть подгруппа в , состоящая из М. с, ограничивающих параллелизуемые многообразия. Построенное многозначное отображение индуцирует гомоморфизм где стационарный Уайтхеда гомоморфизм и -изоморфизм. Вычисление группы сводится к задаче (нерешенной, 1982) вычисления группы и вычисления группы что делается посредством Морса перестроек пленки (при сохранении края). Пусть , то есть и параллелизуемо. Если Wстягиваемое многообразие, то после вырезания в Wмаленького диска многообразие М h -кобордантно , то есть . Если пчетно, то можно так изменить Wпосредством перестроек Морса, что новое многообразие будет стягиваемым (здесь требуется параллелизуемость многообразия Wи условие n>5). Итак,