Математическая энциклопедия - милна проблема

проблема теории переноса излучения о решении односкоростного кинетич. уравнения переноса квантов или частиц для полупространства. Впервые интегральное уравнение М. п. с источником на бесконечности при нулевом потоке падающего извне излучения было выведено Э. Милном [1] для случая изотропного рассеяния квантов, распространяющихся без поглощения в звездной атмосфере.

Уравнение Милна имеет вид

Здесь плотность излучения (или частиц),

интегро-показательная функция

В нейтронной физике М. п. используется для постановки приближенных граничных условий при решении уравнений диффузионного приближения в ограниченной области; при этом учитываются захват нейтронов в среде, анизотропия рассеяния и кривизна границы.

Здесь М. п. состоит в решении интегро-дифференци-ального уравнения

с краевым условием на границе полупространства, заполненного веществом, с вакуумом

где сесть среднее число вторичных нейтронов, приходящееся на одно соударение с ядром (с<1 в рассеивающем и поглощающем нейтроны веществе), индикатриса рассеяния при изотропном рассеянии). Аналогично ставится сферическая или цилиндрическая М. п. о распределении нейтронов в пространстве вне поглощающей сферы или цилиндра.

Решение М. п. удобно проводить, применяя преобразование Лапласа к интегро-дифференциальному уравнению переноса (см. [3]) и используя для решения получающихся функциональных уравнений Винера Хопфа метод.

Для решения М. п. было предложено использовать разложение по обобщенным собственным функциям и методы решения сингулярных интегральных уравнений (см. [4]). Решение М. п. при ищется в виде

где

собственные функции непрерывного спектра, Рсимвол главного значения по Коши, есть функция Дирака,

Дискретные собственные значения суть корни характеристич. уравнения

собственные функции дискретного спектра имеют вид

Система собственных функций и оказывается полной в пространстве обобщенных функций на отрезке и ортогональной с весом W(m), к-рый находится как решение сингулярного интегрального уравнения (см. [4]).

Граничное условие (2) М. п. дает :

то есть и определяются как коэффициенты разложения функции

Асимптотич. плотность нейтронов

обращается в нуль при

Для постоянная Хопфа х 0=0,710446.

Лит.:[1] Milne E. A., "Mon. Notices Roy. Astron. Soc.", 1921, у. 81, p. 361-75; [2] Hopf E., Mathematical problems of radiative equilibrium, Camb., 1934: [3] Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955: [4] Кейз К.-М., Цвайфель П.-Ф., Линейная теория переноса, пер. с англ., М., 1972. В. А. Чуянов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985