Математическая энциклопедия - морса неравенства

вытекающие из теории Морса неравенства, связывающие число критических точек функции Морса на многообразии с его гомологич. инвариантами.

Пусть f Морса функция на гладком n-мерном многообразии (без края) М, имеющая конечное число критич. точек. Тогда гомологии группыконечно порождены и потому определены их ранги и периодич. ранги (периодический ранг абелевой группы Ас конечным числом образующих минимальное число циклич. групп, в прямую сумму к-рых может быть разложена максимальная периодич. подгруппа группы А). М. н. связывают число критич. точек функции , имеющих Морса индекс, с этими рангами, и имеют вид:

При последнее М. н. всегда является равенством, так что

где эйлерова характеристика многообразия М.

М. н. имеют место и для функций Морса триад достаточно заменить группы группами относительных гомологии .

Согласно М. н. многообразие, имеющее "большие" группы гомологии, не допускает функций Морса с малым числом критич. точек. Замечательно, что даваемые М. н. оценки точны: на замкнутом односвязном многообразии размерности существует функция Морса, для к-рой М. н. являются равенствами (Смейла теорема, см. [2]). В частности, на любом замкнутом многообразии, гомотопически эквивалентном сфере , существует функция Морса с двумя критич. точками, откуда непосредственно следует (см. Морса теория), что многообразие Мгомеоморфно сфере (см. Пуанкаре гипотеза). Аналогичное применение теоремы Смейла позволяет доказать и теоремы об h- и s-кобордизмах.

Аналоги М. н. имеют место также для функций Морса на бесконечномерных гильбертовых многообразиях и связывают (для любых регулярных значений функции f) числа лежащих в критич. точек конечного индекса с рангом и периодич. рангом группы где . Именно,

При достаточно больших последнее неравенство становится равенством.

Лит.:[l] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Смейл С, "Математика", 1964, т. 8, № 4, с. 95-108.

М. М. Постников, Ю. В. Рудяк.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985