Математическая энциклопедия - морса теория

общее название для трех различных теорий, основывающихся на идеях М. Морса [1] и описывающих связь алгебро-топологич. свойств топологич. пространства с экстремальными свойствами функций (функционалов) на нем. М. т. является разделом вариационного исчисления в целом;однако последнее шире: напр., оно включает в себя теорию категорий в смысле Люстерннка Шнирельмана.

1) М. т. критических точек гладких функций f на гладком многообразии М(сокращенно М. т. 1) разбивается на две части: локальную и глобальную. К локальной части относятся понятия крптич. точки гладкой функции, гессиана функции в ее критич. точке, Морса индекса крптич. точки и т. п. Основным результатом ее является Морса лемма, описывающая строение гладкой функции в окрестности невырожденной критич. точки.

Изучение гладких функций в окрестностях вырожденных точек не относится собственно к М. т. и выделяется в отдельную теорию особенностей дифференцируемых отображений.

Основными утверждениями глобальной М. т. являются следующие. Пусть f функция на гладком многообразии М. Если множество не содержит критич. точек функции f и не пересекается с краем многообразия М, то является гладким многообразием с краем . Если множество компактно, не пересекается с краем многообразия Ми не содержит критич. точек функции f, то существует такая гладкая изотопия (осуществляемая сдвигом по траекториям градиента функции f), что днффеоморфно отображает па . В частности, диффеоморфно и включение является гомотопич. эквивалентностью.

Если множество компактно, не пересекается с краем многообразия Ми содержит ровно одну критич. точку имеющую индекс Морса, то диффеоморфно многообразию, полученному из приклеиванием ручки индекса . В частности, если рединственная точка глобального минимума функции f, то при малом множество диффеоморфно диску , где . Отсюда следует, что если Мзамкнутое гладкое многообразие, обладающее функцией с ровно двумя критич. точками (причем обе невырожденные), то Мполучается склейкой двух гладких дисков по их общей границе и потому гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере

Поскольку приклеивание ручки индекса гомотопически эквивалентно приклеиванию клетки размерности , отсюда непосредственно вытекает следующая основная теорема М. т. 1: каждой Морса функции. f на гладком многообразии М (без края) отвечает гомотопически эквивалентное многообразию М клеточное пространство, клетки к-рого находятся в биективном соответствии с критич. точками функции f, причем размерность клетки равна индексу соответствующей критич. точки. Морса неравенства являются непосредственным следствием этой теоремы. Аналогичная теорема справедлива и для функций Морса триад

2) М. т. геодезических на римановом многообразии (сокращенно М. т. 2) описывает гомотопич. тип петель пространства гладкого многообразия Мс римановой метрикой . Ее цель перенести на случай этого пространства (вернее, его подходящей модели) результаты М. т. 1. Роль функции f играет при этом определенный на пространстве кусочно гладких путей функционал действия Е(иногда неправильно наз. функционалом энергии [5]), значения к-рого на пути определяются в локальных координатах формулой

В первоначальном построении М. т. рассматривался функционал длины

но по многим технич. причинам функционал Еоказывается предпочтительнее. Вместе с тем экстремали функционала (т. е. пути , для к-рых определенный вариацией функционала Елинейный функционал на пространстве равен нулю) совпадают с геодезическими метрики (экстремалями функционала длины L)в их натуральной параметризации.

Пусть р, qдве (не обязательно различные) точки из Ми пространство кусочно гладких путей, соединяющих pc q. Для каждого полагается

Если риманово многообразие полно, то пространство (внутренность множества ) деформационно ретрагируется на нек-рое гладкое многообразие В, точками к-рого являются "ломаные геодезические" с фиксированным числом звеньев, соединяющие рс q(так что, в частности, Всодержит все геодезические из ). При этом функция гладкая; для любого множество компактно и является деформационным ретрактом множества критич. точки функции совпадают с экстремалями функционала и представляют собой геодезические, соединяющие рс qи имеющие длину индекс Морса критич. точки функции равен индексу Морса соответствующей геодезической; нулевое пространство функционала на геодезической конечномерно и изоморфно нулевому пространству гессиана функции в соответствующей критич. точке; в частности, если ри q не сопряжены ни на одной соединяющей их геодезической , то функция Морса. Применяя М. т. 1 и переходя к пределу при и замечая, что пространство гомотопически эквивалентно пространству всех непрерывных путей, соединяющих pc q, получаем следующую основную теорему М. т. 2: пусть Мполное риманово многообразие и р, qдве его точки, не сопряженные ни на какой соединяющей их геодезической. Пространство всех путей, соединяющих рс q, гомотопически эквивалентно клеточному пространству, клетки размерности к-рого находятся в биективном соответствии с геодезическими индекса , соединяющими рс q.

Так как гомотопич. тип пространства не зависит от выбора точек ри q, то теорема дает, в частности, описание гомотоппч. типа пространства петель