Математическая энциклопедия - изотопия

гомотопия топологич. пространства Xпо топологич. пространству Y: ft:. (здесь и всюду далее в к-рой при любом tотображение ft является гомеоморфизмом Xна нек-рое подмножество Y. Эквивалентно, И.послойное непрерывное отображение f : такое, что f гомеоморфно переводит слой на подмножество слоя Yt. И. Ft:при к-рой Ft(Y)=Y для любого t, наз. изотопией пространства Y. Накрывающей (или объемлющей) изотопией для И. ft:наз. И. пространства Ft.такая, что Ft|x = ft. Два вложения f0, f1: XY пространства Xв пространство Yназ. изотопными, если существует накрывающая И. Ft: для к-рой F0=id, F1(f0(X)) = f1(X). Пространства X, Y наз. изотопически эквивалентными, если существуют вложения f :и g:такие, что композиции gof:и fog:изотопны тождественному отображению. Изотопически эквивалентные пространства наз. также (по аналогии с гомотопич. типом) пространствами одного и того же изотопического типа. Если пространства гомеоморфны, то они изотопически эквивалентны, однако есть негомеоморфные пространства одного изотопич. типа, напр. re-мерный шар и такой же шар с приклеенным к его поверхности (своим концом) отрезком. Любой гомотопич. инвариант является изотопич. инвариантом, но существуют изотопич. инварианты, напр, размерность, не являющиеся гомотопическими.

Основным вопросом в теории И. является задача продолжения изотопии, т. е. вопрос о существовании И. Ft, накрывающей данную И. ft. Этот вопрос, равно как и общая задача нахождения полной системы изотопич. инвариантов для вложений, чаще всего рассматривается в категории топологич. многообразий и ее подкатегориях кусочно линейных и дифференцируемых многообразий.

Топологич. И. ft многообразия M^k по многообразию М ^п,. продолжается до накрывающей И. Ft: М ^п->М ^п тогда и только тогда, когда соответствующее прослойное вложение является локально плоским, здесь [а, b]подотрезок интервала (0, 1). Если и то И. ft накрывается И. Ft при условии, что вложение является локально плоским для любого В коразмерности 2 это неверно (пример "затягивание узелка" на окружности в Е ³), и потому для существования накрывающей И. необходимы дополнительные гомотопич. предположения. Достаточно близкие локально плоские вложе::ия при изотопны.

Теорема о продолжении кусочно линейной И. в общем случае формулируется аналогично (при естественном условии, что соответствующее послойное вложение является локально плоским в кусочно линейном смысле). Если то кусочно линейная И. продолжается всегда, так как в этих коразмерностях кусочно линейное вложение является локально плоским в кусочно линейном смысле. Для п-k=2 или 1 необходимо дополнительное предположение, что вложения ft(M^k)Mⁿ являются в кусочно линейном смысле локально плоскими, поскольку в этих коразмерностях кусочно линейное вложение может не быть локально плоским даже в топологич. смысле, напр, конус над узлом.

Дифференцируемая И. всегда продолжается до дифференцируемой накрывающей И.

Задача нахождения полной системы изотопич.