Математическая энциклопедия - изопериметрическое неравенство

(в геометрии и физике) общий термин для обозначения неравенства 4pV<F² между площадью Vи периметром Fплоской области, для разнообразных его обобщений и для других неравенств между геометрия, характеристиками фигур, множеств, многообразий. К И. н. относят также оценки величин физич. происхождения (моменты инерции, жесткость кручения упругой балки, основная частота мембраны, электростатич. емкость и др.) через геометрич. характеристики. Точное И. н. эквивалентно решению нек-рой экстремальной задачи. И. н. могут связывать как две, так и большее число величин.

О наиболее известном И. н.классическом, его аналогах в пространствах Минковского М ⁿ, Лобачевского Lⁿ, сферическом Sⁿ и его уточнениях см. статью Изопериметрическое неравенство классическое.

Обширная сводка И. н. между элементами простейших фигур главным образом многоугольников имеется в [1]. Такие И. н. наз. геометрическими неравенствами.

Элементарные И. н. между такими параметрами множеств в Rⁿ, как объем V, диаметр D, радиус R наименьшего описанного шара и т. п., см. в [2], [3]. Среди них: неравенство Юнга:

неравенство Гейла:

где l длина ребра

наименьшего описанного правильного симплекса; неравенство Бибербаха:

неравенство Лумиса Уитни:

где Vik -мерный объем проекции множества на i-ю из l=Сп попарно различных k-мерных координатных плоскостей для декартовых координат. Первые три неравенства допускают обобщения на пространства М ⁿ, Lⁿ, Sⁿ (см. [4], [5]). В неравенстве Бибербаха диаметр может бить заменен средней шириной (см. [5]).

В связи с задачами размещения и покрытия рассматривались И. н., специфичные для многогранников, с привлечением числа или суммы длин ребер и т. п. (см. [6]).

Для выпуклых тел многие И. н. (в том числе классическое И. н. и серия неравенств между интегралами от симметрич. функций главных кривизн) являются частными случаями неравенств между смешанными объемами (см. Смешанных объемов теория, Минковского неравенство).

Использование И. н., как оценок одних параметров фигур через другие, вышло за рамки геометрии. При этом в математич. физике, теории функций комплексного переменного, функциональном анализе, теории приближений функций, вариационном исчислении обогатился сам класс И. н. Заметно усложняются И. н. в римановой геометрии.

В математич. физике И: н. возникли (сначала в виде предположений) в работах А. Сен-Венана (A. Saint-Venant, 1856):

где Ржесткость кручения призматической упругой балки; Рэлея (Rayleigh, 1877):

где А основная частота мембраны, j первый положительный корень бесселевой функции J0(x);в работах А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1903): где с электростатич. емкость тела. Vв этих неравенствах, соответственно, площадь сечения балки, площадь мембраны, объем тела. Многочисленные результаты такого рода подытожены в [7] и [8]. Нек-рые оценки для первого собственного числа L^-1 оператора Лапласа на замкнутых римановых многообразиях имеются в [9].

В функциональном анализе в терминах И. н. (связывающих меры и емкости) были даны (см. [10], [11]) условия ограниченности и компактности операторов вложения (см. Вложения теоремы )для пространств Соболева.

Например, оценка

где m.неотрицательная мера, n>2, справедли ва для всех в том и только в том случае, когда для всех компактов выполняется И. н.:

Здесь емкость Винера (см. Емкость множества).

И. н. для объема и площади применяются при доказательстве априорных оценок решений линейных и квазилинейных эллиптич. уравнений (см. [12], [26]).

Специфич. И. н. возникают для выпуклых тел пространства Минковского в связи с теорией приближения функций (см. Самопериметр, Поперечник).

В теории конформных и квазиконформных отображений применение И. н. является обычным приемом. Примером конформно-инвариантного И. н. служит приводимое ниже неравенство (4).

И. н., включающие среднюю кривизну подмногообразия, в частности для минимальных поверхностей, играют важную роль при решении Плато задачи.

В римановой геометрии неоднородных пространств обобщения классического И. н. детально изучены только в двумерном случае. Пусть Модносвязное компактное двумерное многообразие с краем и положительная часть w⁺ интегральной кривизны Мменьше, чем 2p.

Тогда (см. [13]):

И. н. (1) справедливо и для более общих, чем римановы, двумерных многообразий ограниченной кривизны. Равенство в (1) достигается на нерегулярном объекте области, изометричной боковой поверхности прямого кругового конуса с полным углом 2p-w⁺ вокруг вершины. С помощью (1) устанавливаются оценки длины кривой, умещающейся в области, в зависимости от F,w⁺ и собственного поворота ( извивания кривой). В частности, для геодезической длины L

И. н. (1) является частным случаем оценки

где aлюбое действительное число, c.эйлерова характеристика компактной области с краем, w⁺=а Кгауссова кривизна. К И. н. (2) примыкают оценки для площади i-окрестности границы области и для наибольшего удаления точек области от границы (см. [14]). Если поверхность Мявляется гладким подмногообразием в R³, то оценки (1), (2) дополняются И. н., включающими внешние характеристики поверхности. Для замкнутых поверхностей из интегральных тождеств (см. [15]) следует точное И. н. где R радиус шара в R³, содержащего М. Сходные неравенства (не точные) получены и для поверхностей с краем (см. [16]). В частности, для односвязной седловой поверхности в R" с границей длины F:

Упомянутые неравенства остаются справедливыми и для общих (нерегулярных) поверхностей в R", если вместо w⁺ ввести в рассмотрение внешнюю положительную кривизну меру в множестве локально опорных плоскостей (см. [16]).

Для n-мерного риманова пространства У И. н., как правило, связаны с односторонними ограничениями на секционную кривизну или кривизну Риччи. Простейшей является оценка объема V(t)шара радиуса tв У" через объем v(t, К )шара того же радиуса в полном односвязном пространстве постоянной кривизны К:

где (n-1) Kесть минимальное значение кривизны Риччи в Vⁿ; если К>0, то предполагается, что (см. [17]). Аналогичное И. н. справедливо для трубчатой t-окрестности р-мерного подмногообразия в V, в таком И. н. (вместо кривизны Риччи) участвуют минимум секционных кривизн Vⁿ и максимум нормальных кривизн подмногообразия (см. [18]).

Если верхняя грань Ксекционных кривизн отрицательна, то объем V замкнутого многообразия оценивается снизу через (см. [19]). Для области Мв полном односвязном У" при этом имеет место линейное И. н.

где Fесть (п-1)-мерная площадь границы М, а также И. н.

точное значение с(п)неизвестно.

В пространствах неотрицательной кривизны для выпуклых областей Мполучен ряд оценок, обобщающих И. н. для выпуклых тел в Rⁿ (см. [20], [21] ). Так,