Математическая энциклопедия - изоклина

обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка

множество точек плоскости х, у, в к-рых наклон направлений поля, определяемого уравнением (*), один и тот же. Если кпроизвольное действительное число, то k-изоклина уравнения (*) есть множество

(в общем случае кривая); в каждой ее точке (ориентированный) угол между осью хи касательной к проходящему через эту точку решению уравнения (*) равен arctg к. Напр., 0-изоклина определяется уравнением f(x, y) = 0 и включает в себя те и только те точки плоскости х, у, в к-рых решения уравнения (*) имеют горизонтальную касательную. k-изоклина уравнения (*) является одновременно решением этого уравнения тогда и только тогда, когда она представляет собой прямую с угловым коэффициентом k.

Приближенное качественное представление о картине поведения интегральных кривых уравнения (*) можно составить, если построить И. данного уравнения для достаточно частого набора значений параметра kи отметить на каждой И. соответствующий наклон интегральных кривых (метод изоклин). Полезно также построить бесконечность-изоклину, определяемую уравнением l/f(x, у)-0;в точках бесконечность-изоклины интегральные кривые уравнения (*) имеют вертикальную касательную. Точки (локального) экстремума решений уравнения (*) могут лежать только на 0-изоклине, а точки перегиба решений только на линии

Для уравнения 1-го порядка, не разрешенного относительно производной

F(x,y,y') = 0, k -изоклина определяется как множество

В случае автономной системы 2-го порядка

совокупность точек фазовой плоскости, в к-рых векторы фазовой скорости коллинеарны, есть И. уравнения

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 9 изд., М., 1966.

Я. X. Розов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985