Математическая энциклопедия - изометрическое погружение

погружение k-мерного метрич. многообразия М ^к в n-мерное риманово пространство V,в виде k-мерной поверхности

Ф, при к-ром расстояние между любыми двумя точками на М ^k совпадает с расстоянием между их образами, измеренным по поверхности Ф в пространстве Vⁿ. Это определение можно обобщить, если риманово пространство заменить более общим метрич. пространством. Частным случаем И. п. является изометрическое вложение взаимно однозначное погружение.

Основными вопросами теории И. п. являются; 1) проблема возможности И. п. данного многообразия в данное пространство; 2) в случае существования И. п.проблема его единственности. Эти проблемы рассматриваются при различных условиях на многообразие и его изометрич. образ гладкости, регулярности, аналитичности, выпуклости и т. д. При каждом из перечисленных условий конкретизация основных вопросов теории И. п. производится в следующих аспектах: а) вопрос глобального И. п. М ^k в Vⁿ;б) вопрос локального И. п. М ^k в Vⁿ (отыскание И. п. в Vдостаточно малой окрестности отмеченной точки ); в) в локальном и глобальном случаях отыскание минимального ртакого, что М ^k погружаемо в евклидово пространство Е ^k+p размерности k+р (число рназ. классом погружения многообразия М ^k);г) вопросы изгибания И. п.

С аналитич. точки зрения задача нахождения И. п. М ^k в Vⁿ равносильна решению системы нелинейных уравнений с частными производными. Для И. п. в Е ^п эта система имеет вид:

где x={x^a(u^s)} искомое И. п., gij -метрический тензор многообразия М ^k в локальных координатах и ¹, . . ., и ^k. При решении этой системы в глобальном случае используются так наз. свободные отображения хв Е ⁿ (см. Нэша теорема о неявной функции). В локальных аналитич. адачах место теоремы о неявной функции занимает Коши Ковалевской теорема. Роль свободного отображения и теоремы о неявной функции сохраняется и в общем случае для погружений класса С ^r,, r=a, в римановы и псевдоримановы пространства. И. п. класса С ¹ используют иные методы, основанные на деформации погружения, позволяющей менять погружения и следить за изменением метрики. При исследованиях И. п. в Е ^п используется также система уравнений Гаусса Петерсона Кодацци.

Глобальные изометрические погружения. Всякое компактное риманово многообразие М ^k класса С( )допускает изометрич. вложение класса С в любой шар пространства Е ^п, где п (3k²+11k)/2; если М ^k некомпактно, то оно допускает вложение класса в любую часть пространства Е ⁿ, где и п (3k²+11k) (k+l)/2 (см. [6]). Размерность пространства Е ^п снижается в случаях r=и r=а:всякое риманово многообразие M^k (компактное или нет, с краем или без края) класса С( С ^а )допускает изометрич. вложение класса в Е ^п, где

Для k-мерного гиперболич. пространства (k>2) получено в явном виде изометрич. вложение класса С в Е ^6k-5, а для k-мерного эллиптич. пространства (k>2) изометрич. вложение класса Св Е ^п, п=k(k+3)/2.

В перечисленных результатах гладкость поверхности Ф не выше, чем гладкость погружаемой метрики. Этот факт не является случайным: именно, всякая k-мерная () поверхность Ф класса в Е ^п является И. п. класса С- ^а нек-рого риманова многообразия М ^к класса С> ^а (см. [8]).

Нижняя граница для размерности пространства Е ^п, в к-рое можно осуществить И. п. риманова многообразия, дается теоремой: пусть компактное риманово многообразие М ^к класса С ⁴ обладает следующим свойством: в каждой точке М ^к существует q-плоскость такая, что в ней все кривизны по всем двумерным направлениям неположительны; тогда М ^к не допускает И. п. класса С ⁴ в любое Е" с если условие, наложенное на кривизну многообразия М ^к, распространяется на одну точку и д=п, то существует И. п. класса С ⁴ в Е'^2к~². Так, напр., плоский