Математическая энциклопедия - изопериметрическое неравенство классическое

неравенство между объемом Vобласти в евклидовом пространстве Rⁿ, и (n1)-мерной площадью F, ограничивающей область гиперповерхности:

где vnобъем единичного re-мерного шара. Равенство в И. н. к. имеет место только для шара. И. н. к. дает решение иаопериметрической задачи. Для n=2, 3 И. н. к. известно с глубокой древности. Строгое доказательство И. н. к. для n=2 дано Ф. Эдлером (F. Edler) в 1882, для га-3 Г. Шварцем (Н. Schwarz) в 1890 и для всех Л. А. Люстерциком в 1935 и Э. Шмидтом (Е. Schmidt) в 1939 (см. [1], [2], [3]).

В двумерном случае есть много доказательств И. н. к. (см. [4]), при n>2 известно лишь два подхода. Первый метод симметризации, предложенный Я. Штейнером (J. Steiner). Э. Шмидт, используя этот метод, получил аналоги И. н. к. (и неравенства Брунна Минковского) для сферического и гиперболического га-мерных пространств (см. [5]). Второй подход состоит в сведении И. н. к. к Брунна Минковского неравенству (см. БруннаМинковского теорема). и использовании метода пропорционального деления объемов. При таком подходе естественно возникает более общее неравенство для объемов V(A), V(B)двух множеств и площади F(A, В )по Минковскому множества Апо отношению к В. Неравенство (*) допускает интерпретацию как И. н. к. в пространстве Минковского; равенство при фиксированном "шаре" Минковского В достигается, вообще говоря, не для единственного тела А, причем эти тела отличны от "шара" (см. [6]).

Имеется ряд обобщений И. н. к., при к-рых рассматриваются не области с кусочно гладкой границей, а более широкие классы множеств, причем площадь границы понимается в обобщенном смысле (площадь Минковского, площадь но Лебегу, периметр множества по Каччопполи Де Джорджи, масса потока, см. [7], [8]). И. н. к. остается справедливым во всех этих случаях, а также для гиперповерхностей с самопересечениями и соответствующего им ориентированного объема (см. [9]). Эти обобщения получаются из И. н. к. предельным переходом при различных вариантах понятия сходимости.

Для изопериметрич. разности Fⁿ-nⁿvnV^n-1, как и для изопериметрич. отношения FⁿV^1-n, известны оценки, усиливающие И. н. к. (см. [2]). Часть таких оценок получена для множеств специального вида, в первую очередь для выпуклых множеств и многогранников (см. [10]). Напр., Боннезена неравенство для плоских фигур:

где r радиус наибольшего вписанного круга, и его обобщение (см. [11]) для выпуклых тел в Rⁿ:

Здесь q=max {l|lBможно поместить в А}. Относительная изопериметрич. разность выпуклых тел

Fⁿ(A, B) nⁿV^n-1(A)V(B)

может служить мерой их негомотетичности (см. [12]). Это используется, напр., при доказательстве теоремы устойчивости в проблеме Минковского (см. [13]). Об обобщениях И. н. к. на пространства переменной кривизны и родственных им неравенствах см. ст. Изопериметрическое неравенство.

Лит.:[1] Крыжановский Д. А., Изопериметры, 3 изд., М., 1959; [2] Хадвигер Г., Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии, пер. с нем., М., 1966: [3] Люстерник Л. А., "Успехи матем. наук", 1936, в. 2, с. 47-54; [4] Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; [5] Schmidt E., "Math. Nachr.", 1948, Bd 1, S. 81 157; [6] Busemmann H., "Amer. J. Math.", 1949, v. 71, p. 743-62; [7] De Giorgi E., "Atti Accad. naz. Lincei. Mem. Cl. sci fis., mat. e natur. Ser. 8", 1958, № 5, № 2, p. 33-44; [8] Федерер Г., Флеминг У. X., в сб.: Целочисленные потоки и минимальные поверхности, М., 1973, с. 9-90; [9] Rado Т., "Trans. Amer. Math. Soc", 1947, v. 61, Л"" 3, p. 530-55; [10] Tот Л. Ф., Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве, пер. с нем., М., 1958; [11] Дискант В. И., "Докл. АН СССР", 1973, т. 213, № 3, с. 519 21; [12] его же, "Сиб. матем. журнал", 1972, т. 13, № 4, с. 767-72; [13] Волков Ю. А., "Вестн. Ленигр. ун-та. Сер. матем. и астроном.", 1963, в. 1, с. 33-43.

Ю. Д. Бурого.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985