Математическая энциклопедия - изотропии представление

естественное линейное представление изотропии группы в касательном пространстве к многообразию. Если Gгруппа дифференцируемых преобразований многообразия Ми Gxсоответствующая группа изотропии в точке хО М, то И. п. Isx: сопоставляет каждому hО Gx дифференциал lsx(h) = dhx преобразования hв точке х. Образ И. п. Isx(Gx). наз. линейной группой изотропии в точке х. В случае, когда Gгруппа Ли со счетной базой, гладко и транзитивно действующая на М, касательное пространство Т x М естественно отождествляется с пространством g/gx , где алгебры Ли групп И. п. Isx отождествляется при этом с представлением к-рое индуцируется ограничением присоединенного представления AdG группы Gна Gx.

Если однородное пространство Мредуктивно, т. е. g=gx+m, где mподпространство, инвариантное относительно AdG(Gx), то Т х М отождествляется с т,a Isx -с представлением (см. [3]). В этом случае И. п. является точным, если Gдействует эффективно.

И. п. и линейная группа изотропии играют важную роль при изучении инвариантных объектов на однородных пространствах. Инвариантные тензорные поля на однородном пространстве Мнаходятся во взаимно однозначном соответствии с тензорами в пространстве Т x М, инвариантными относительно И. п. В частности, М обладает римановой инвариантной метрикой тогда и только тогда, когда в Т x М существует евклидова метрика, инвариантная относительно линейной группы изотропии. Существование на однородном пространстве Мположительной инвариантной меры равносильно условию |det A| = l для всех Однородное пространство ориентируемо тогда и только тогда, когда Инвариантные линейные связности на Мнаходятся во взаимно однозначном соответствии с линейными отображениями обладающими следующими свойствами:

Обобщением понятия И. п. является понятие И. п. порядка r. Это гомоморфизм группы Gx в группу L^r( Т x М). обратимых r-струй диффеоморфизмов пространства Т x М, переводящих в себя нуль. Это понятие применяется при изучении инвариантных объектов высших порядков.

Лит.:[1] Зуланке Р., Винтген П., Дифференциальная геометрия и расслоения, пер. с нем., М., 1975; L2] Хелгасон С., Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; 13] Рашевский П. К., в кн.: Тр. семинара по векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике, в. 9, М.Л.,1952, с. 49-74; [4] К артан Э., Геометрия групп Ли и симметрические пространства, пер. с франц., М., 1949.

А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985