Математическая энциклопедия - мориты эквивалентность

отношение эквивалентности на классе всех колец, определяемое следующим образом: кольца Rи Sназ. Морита-эквивалентными, если категории левых (правых) В- и S-модулей эквивалентны. Важнейший пример М. э. колец: кольцо Rи кольцо всех -матриц над ним. Для существования М. э. между кольцами Rи Sнеобходимо и достаточно, чтобы в категории левых R- модулей существовал такой конечно порожденный проективный образующий U, что его кольцо эндоморфизмов изоморфно кольцу S. При этом левому R-модулю Аставится в соответствие левый S-модуль Среди свойств, сохраняющихся при переходе к кольцу, эквивалентному в смысле Мориты: артиновость, нёте-ровость, первичность, простота, классич. полупростота, регулярность, самоинъективность, наследственность, примитивность.

Наряду с М. э. рассматривается двойственность в смысле Мориты, связывающая нек-рые подкатегории категорий левых R-модулей и правых S-модулей (чаще всего подкатегории конечно порожденных модулей). Однако само существование такой двойственности накладывает определенные ограничения на кольца Rи S. В частности, при R=S это ведет к тому, что R квазифробениусово кольцо.

Общая концепция М. э. была разработана К. Моритой [1].

Лит.:[1] Моritа К., "Sci. Repts Tokyo Kyoiku Dajgaku A", 1958, v. 6, p. 83-142; [2] Басс Х., Алгебраическая К-теория, пер. с англ., М., 1973; [3] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1-2, М., 1977-79; [4] Colin P., Morita equivalence and duality, L., 1976.

Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985