Математическая энциклопедия - морса перестройка

хирургия,преобразование гладких многообразий, к-рому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку;важнейшая конструкция в топологии многообразий.

Пусть Vгладкое п- мерное многообразие (без края), в к-рое (гладко) вложена -мерная сфера

Предположим, что нормальное расслоение сферы в многообразии тривиально, т. е. что замкнутая трубчатая окрестность сферы в разлагается в прямое произведение диск размерности . Выбрав такое разложение, вырежем из Vвнутренность окрестности Т. Получится многообразие, край к-рого разложен в произведение сфер. Но точно такой же край имеет многообразие Отождествив края многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения Xснова получим многообразие без края, к-рое и наз. результатом перестройки Морса многообразия Vвдоль сферы .

Для осуществления М. п. необходимо задать разложение окрестности Тсферы в прямое произведение, т. е. тривиализацию нормального расслоения сферы в многообразии V, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия .

Число наз. индексом М. п., а пара ее типом. Если получается из VМ. п. типа (, ), то Vполучается из М. п. типа .

При многообразие является дизъюнктным объединением многообразия V(к-рое может быть в этом случае пустым) и сферы . Конструкция М. п. может быть проведена также для кусочно линейных и топологич. многообразий.

Пример. При в результате М. п. получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при тор. При получается произведение .Случай сложнее: если сфера вложена в стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора ее тривиализации нормального расслоения получаются всевозможные линзовые пространства;если же допустить заузливание сферы S¹, то получается еще больший набор трехмерных многообразий.