Математическая энциклопедия - надежности теория

инженерное направление применении математич. методов, в к-ром разрабатываются: а) приемы расчета надежности технич. систем, 0) методы оценки надежности изготовленных изделий, в) способы оптимизации и повышения эффективности функционирования сложных технич. систем и составляющих их элементов в процессе эксплуатации (включая в это понятие также хранение и перевозку). В Н. т. вводятся количественные показатели надежности на основе построения соответствующих математич. моделей. При этом учитываются такие факторы, как назначение технич. системы, условия, в к-рых ей придется работать, а также экономич. факторы. В Н. т. используются разнообразные математич. методы, но особое место среди них занимают теория вероятностей и математич. статистика. Это обусловлено тем, что события, описывающие количественные и качественные показатели надежности (отказ, длительность безотказной работы, длительность ремонта, стоимость восстановления и т. п.), случайны. Широкое применение находят также методы теории оптимизации, математич. логики и др.

Понятие надежности включает в себя: 1) безотказность, 2) долговечность, 3) приспособленность к ремонту. Нередко, однако, решающее значение имеет лишь первая характеристика. Так, для всех технич. устройств одноразового использования третье свойство не требуется совсем.

Основным понятием Н. т. является понятие отказа, т. е. постепенной или внезапной потери устройством работоспособности. Формализованное описание этого понятия базируется на следующей общей схеме построения математич. моделей Н. т. Предполагается, что состояние технич. системы определяется точкой хв фазовом пространстве состояний. Эволюция состояний этой системы во времени описывается процессом , вообще говоря, случайным. В Xвыделяется подмножество состояний, соответствующих наступлению отказа. Безотказность свойство системы непрерывно сохранять работоспособность. Количественно безотказность измеряется временем от данного момента до момента попадания в .Долговечность свойство технич. системы сохранять работоспособность с необходимыми перерывами для ремонтов и технич. обслуживания при условии экономич. целесообразности дальнейшей эксплуатации. Ремонтоприспособленность технич. системы определяется удобством ее технич. обслуживания и проведения ремонтных работ; количественно измеряется затратами или же временем на поддержание технич. системы в работоспособном состоянии.

Важнейшим количественным показателем надежности является вероятность безотказной работы технич. системы в течение времени t, т. е. вероятность того, что за время t процесс не достигнет подмножества . Функция распределения наступления отказа до момента tравна . Если существует плотность распределения то функция наз, функцией интенсивности отказа. Вероятностный смысл состоит в том, что это есть условная плотность распределения отказа при условии, что технич. система проработала безотказно время t. Таким образом, является вероятностью того, что система откажет в промежутке времени при условии, что она не отказала до момента t.

В Н. т. используются различные классы функций . Если есть выпуклая функция, то функция распределения наступления отказов наз. функцией распределения с возрастающей интенсивностью отказа; класс таких функций распределения обозначается ВФИ. Если же есть вогнутая функция, то функция распределения наступления отказа наз. функцией распределения с убывающей интенсивностью отказа; соответствующий класс функций распределения обозначается УФИ. В Н. т. используются и другие непара-метрич. классы функций распределения, напр, класс ВФИС (возрастающая функция интенсивности отказа в среднем): для распределений этого класса функция

возрастает; класс НЛС (новое лучше старого): функции распределения этого класса удовлетворяют условию

для любых т. е. распределение отказов при условии, что технич. система уже проработала время tвыше, чем безусловное. Это и означает, что для проработавшей технич. системы отказы поступают чаще, чем для новой. Для нек-рых классов функций распределения доказаны теоремы об инвариантности функции распределения наступления отказов при образовании определенных структур (последовательного или параллельного соединения элементов и т. д.). Широкое применение в Н. т. находят модели, в к-рых функция задается параметрически. В качестве функций распределения внезапных отказов часто используется экспоненциальное распределение

распределение Вейбулла

и др.

Для увеличения надежности технич. систем используются различные приемы: резервирование, профилактич. осмотры и ремонты, эксплуатация при пониженных нагрузках. Под резервированием понимается метод повышения надежности путем введения избыточноети того или иного рода дополнительных элементов, узлов, устройств, к-рые не требуются для функционирования технич. системы, дополнительного времени на выполнение работы, использование избыточной информации и пр. В связи с этим рассматриваются следующие типы резервирования: структурное (дополнительные элементы), временное (дополнительное время), информационное, функциональное (использующее способность элементов технич. системы выполнять дополнительные функции), нагрузочное. Структурный резерв может находиться в трех следующих состояниях: а] ненагруженном, б) нагруженном, в) облегченном. В нагруженном резерве резервный элемент несет такую же нагрузку, как и основной (рабочий), и интенсивность отказов резервного элемента та же, что у основного. В ненагруженном резерве элемент совсем не несет нагрузки, что соответствует отсутствию отказов. В облегченном резерве элемент несет нагрузку меньшую, чем основной, поэтому для него интенсивность отказов меньше,

чем для основного. Значительное увеличение надежности дает восстановление отказавших элементов резервирование с восстановлением. Если элемент имеет один резервный, находящийся в ненагруженном состоянии, функция распределения длительности безотказной работы каждого из элементов есть , функция распределения длительности восстановления есть , переключатели абсолютно надежны и переключение на работу, на восстановление и в резерв происходит мгновенно, то для длительности безотказной работы дублированной системы (т. е. от начала работы до момента, когда оба элемента окажутся в состоянии отказа) имеет место формула

где

Исследование резервированных систем явилось источником ряда чисто математич. исследований развитие теории линейчатых и полумарковских процессов, предельных теорем для сумм случайного числа случайных величин и др.

Профилактическое обслуживание применяется в моменты, когда технич. система еще работоспособна, но имеется основание считать, что появилась повышенная вероятность отказа. Обычно задачи профилактики связаны с решением вопросов оптимизации: как выбрать моменты начала профилактич. обслуживания, чтобы суммарные потери на проведение профилактики и на ущерб от возможного отказа до моментов профилактик за данный промежуток времени Тбыли минимальны; как организовать профилактич. обслуживание, чтобы вероятность безотказной работы за данный промежуток времени была максимальной и т. д. Для нек-рых функций распределения длительностей безотказной работы системы, в том числе для всех распределений класса УФИ, профилактика не увеличивает среднего времени безотказной работы. У функций распределения класса УФИ X(t)является невоз-растающей функцией. К ним, в частности, относится функция распределения

при любом постоянном . Ряд оптимизационных задач возникает в связи с поиском неисправностей в сложной системе: как производить поиск неисправности, чтобы затратить на ее обнаружение в среднем наименьшее время; в какой последовательности для этой цели следует проверять работоспособность составляющих систему узлов и элементов и т. д.

Существенное место в Н. т. занимают задачи получения статистич. выводов о функции распределения наступления отказа на основе данных о результатах стендовых испытаний. Простейшие математич. модели стендовых испытаний следующие. Пусть Nчисло ячеек для испытаний изделий. В процессе испытаний отказавшие изделия не заменяются новыми (класс испытаний Б) или заменяются новыми (класс испытаний В). Продолжительность испытаний определяется правилом остановки, напр, заданием предельного времени испытаний Т, предельного числа rнаблюдаемых отказов и др. Существенной характеристикой испытаний является суммарная наработка , т. е. сумма времен безотказной работы всех испытываемых изделий на интервале . При испытаниях по плану испытывают Nизделий, к-рые при отказах не заменяются новыми. Наблюдения продолжаются до r-го отказа. По плану испытания продолжаются до отказа всех Nиспытываемых изделий, при использовании плана