Математическая энциклопедия - направлений поле

геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1) Линейным элементом наз. набор чисел (2) где точка области , в к-рой определены правые части системы (1). Линейный элемент (2) можно представить себе как совокупность точки и соответствующего ей направления с направляющими косинусами

к-рое изображается отрезком малой длины, проходящим через эту точку параллельно вектору

Для системы в симметричной форме

в отличие от системы (1), среди направлений поля возможны и ортогональные оси t.

Любая интегральная кривая системы (1) в каждой своей точке касается, отвечающего этой точке направления поля; всякая кривая, обладающая таким свойством, является интегральной кривой системы (1). Таким образом, задание Н. п. эквивалентно заданию системы (1), а задача интегрирования системы (1) состоит в отыскании таких кривых в (n+1)-мерном пространстве R^{n + 1}, касательные к к-рым в каждой точке имеют направление, определяемое формулами (3), т. е. имеют направление, совпадающее с направлением поля в этой точке.

Особенно наглядной геометрич. картина становится при n=1. В этом случае через каждую точку (t, х)области определения правой части уравнения 1-го порядка

можно провести отрезок малой длины с угловым коэффициентом f(t, х), так что (ориентированный) угол между осью tи этим отрезком равен arctg f (t, х )(см. рис.).

Часто дифференциальное уравнение (4) рассматривается в совокупности с дифференциальным уравнением

где для точек в к-рых , и для точек , в к-рых функцию можно доопределить этим значением по непрерывности. Тем самым для пары уравнений (4), (5) область Gрасширяется до области Go за счет пополнения точками, в к-рых направление параллельно оси х, а интегральным кривым разрешается иметь и точки с вертикальной касательной.

Если в области Gдля уравнения (4) (или в области Go для пары уравнений (4), (5)) изобразить Н. п. достаточно подробно, то по построенным отрезкам можно составить примерное качественное представление о картине поведения интегральных кривых. Это соображение лежит в основе приближенного графич. метода решения уравнения (4) метода изоклин, в к-ром построение Н. п. осуществляется с помощью изоклин. На использовании геометрич. связи Н. п. и интегральных кривых базируется приближенный численный метод решения уравнения (4) Эйлера метод.

Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений более удобна и наглядна геометрич. интерпретация в виде векторного поля поля фазовых скоростей в фазовом пространстве системы.

Лит.:[1] Понтрягин Л. С, Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974; [2] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [3] Сансоне Д ж., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с итал., т. 1-2, М., 1953 54.

Я. X. Розов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985