Математическая энциклопедия - неархимедова геометрия

совокупность геометрич. предложений, вытекающих из групп аксиом: инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности системы Гильберта аксиом евклидовой геометрии, и не связанных с аксиомами непрерывности (с аксиомами Архимеда и полноты). В узком смысле Н. г. описывает геометрич. свойства прямой, на к-рой не верна аксиома Архимеда (неархимедова прямая).

Для исследования геометрич. соотношений в Н. г. вводится исчисление отрезков неархимедова числовая система, рассматриваемая как специальная комплексная числовая система. Определяются понятия отрезка, отношения отрезков, сложение и умножение отрезков. В частности, вводится дезаргова числовая система неархимедова система, в к-рой умножение отрезков некоммутативно. С помощью этих числовых систем в Н. г. строится теория подобия фигур, теория площадей и т. д. Теория площадей многоугольников, лежащая в основе теории измерения площадей фигур на неархимедовой плоскости, опирается на понятие равно-великости многоугольников по дополнению, к-рое в Н. г. является более общим по отношению к понятию равносоставленности (равновеликости по разложению на пары конгруэнтных треугольников).

В Н. г. существуют треугольники, имеющие соответственно равные меры высот и оснований, равновеликие по дополнению, но не равносоставленные. Равновеликие по дополнению многоугольники в Н. г. имеют одинаковую меру площади, и два многоугольника с одинаковой мерой площади всегда равновелики по дополнению. Для крямоугольных треугольников в Н. г. имеет место теорема Пифагора.

С помощью исчисления отрезков в неархимедовом пространстве вводится система аффинных (или проективных) координат. Напр., на плоскости выбираются две прямые оси координат, проходящие через фиксированную точку, на каждой из осей отмечаются единичные отрезки. В этой системе аффинных координат уравнение прямой является линейным, т. е. имеет вид ах+bу+с= 0, где х, учисла (отрезки), определяют координаты точек на прямой, а, b, сфиксированные числа (отрезки), причем умножение фиксированных отрезков на отрезки хи упроизводится всегда слева, и, вообще говоря, уравнение xа+yb+с=0 в этой системе координат не представляет прямую.

Система геометрич. предложений, составляющих Н. г., может быть реализована на модели из конечного набора основных объектов: "точек", "прямых" и т. д. (здесь на каждой "прямой" не предполагается существование бесконечного множества "точек"). Построение числовых моделей Н. г. приводит к т. н. трансфинитным (неархимедовым) пространствам Гильберта. Такое числовое пространство на прямой наз. линейным пространством Веронезе.

Числовая реализация Н. г., в к-рой коммутативный закон умножения не является необходимым, играет также важную роль в построении непаскалевой геометрии (см. также Недезаргова геометрия).

Значение Н. г. определяется ее ролью в исследовании независимости и непротиворечивости системы Гильберта аксиом евклидова пространства. Реализация на числовой модели групп аксиом инцидентности, порядка, конгруэнтности и параллельности доказывает как их независимость от аксиом полноты, так и непротиворечивость самой Н. г. С другой стороны, выясняется и роль аксиом непрерывности в построении евклидовой геометрии на основе аксиом Гильберта. В частности, без аксиом непрерывности невозможно доказать эквивалентность евклидовой аксиомы параллельности предложению о равенстве суммы внутренних углов любого треугольника двум прямым углам.

Геометрич. построения на неархимедовой плоскости всегда осуществимы с помощью линейки с отмеченным эталоном длины (отмеченным отрезком).

Лит.:[1] Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.-Л., 1948.

Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985