Математическая энциклопедия - неабелевы когомологии

когомологии со значениями в неабелевой группе, пучке неабелевых групп и т. д. Наиболее известные примеры Н. к.это когомологии групп, топологич. пространств и, более обще, топологизированных категорий в размерностях 0, 1. Единый подход к Н. к. дает следующее понятие. Пусть группы,множество с отмеченной точкой е, Aff С ¹-. голоморф группы группа преобразований множества , сохраняющих е. Тогда неабелев коцепной комплекс это набор где гомоморфизмы, а такое отображение, что

Определяются 0-мерная группа когомологии

и 1-мерное множество (с отмеченной точкой) когомологии где а факторизация проводится при помощи действия r группы

Примеры. 1) Пусть Xтопологич. пространство с пучком групп его покрытие; тогда имеется комплекс Чеха

где определяются так же, как в абелевом случае (см. Когомологии),

Когомологии при переходе к пределу по покрытиям дают когомологии пространства Xсо значениями в . При этом.. Если пучок ростков непрерывных отображений со значениями в топопогич. группе G, то ,интерпретируется как множество классов изоморфных топологических главных расслоений над X со структурной группой G. В аналогичных терминах получается классификация гладких и голоморфных главных расслоений. Таким же способом определяются Н. к. топологизированной категории; по поводу их интерпретации см. Главный G-объект.

2) Пусть G - нек-рая группа и А(не обязательно абелева) G-группа, т. е. операторная группа с группой операторов G. Пусть результат действия оператора на элемент обозначается . Комплекс определяется формулами:

Группа совпадает с подгруппой А ^G неподвижных точек в Аотносительно G, а множество есть множество классов эквивалентных скрещенных гомоморфизмов и интерпретируется как множество классов изоморфных главных однородных пространств над А. По поводу приложений и конкретных вычислений Н. к. групп см. Галуа когомологии. Аналогично определяются Н. к. категорий и полугрупп.

3) Пусть X гладкое многообразие, Gгруппа Ли,ее алгебра Ли. Неабелев комплекс д е Рама определяется следующим образом:

группа всех гладких функций

-пространство внешних k-формна Xсо значениями в g.

Множество есть множество классов вполне интегрируемых уравнений вида относительно калибровочных преобразований. Аналог теоремы де Рама дает интерпретацию этого множества как нек-рого подмножества в множестве классов сопряженных гомоморфизмов

В случае комплексного многообразия М и комплексной группы Ли Gопределяются также неабелевы голоморфный комплекс де Рама и комплекс Дольбо, тесно связанные с задачей классификации голоморфных расслоений [3]. Неабелевы комплексы дифференциальных форм являются также важным аппаратом в теории псевдогрупповых структур на многообразиях [7].

С каждым подкомплексом неабелева коцепного комплекса связана точная последовательность когомоло-гип. Напр., для комплекса C*(G, А )из примера 2) и его подкомплекса C*(G, В), где Весть G-инвариаитная подгруппа в А, она имеет вид

Если Внормальный делитель в А, то последовательность можно продолжить до члена а если Влежит в центре, то и до . Эта последовательность точна в категории множеств с отмеченными точками. Кроме того, существует аппарат ("подкручивание" или "скручивание" коцепного комплекса), позволяющий описывать прообразы всех, а не только отмеченных элементов (см. [1], [6], [3]). Можно построить также спектральную последовательность, связанную с двойным неабелевым комплексом, и соответствующую краевую точную последовательность [4].