Математическая энциклопедия - неассоциативные кольца и алгебры

множества с доумя бинарными операциями + и ., удовлетворяющими всем аксиомам ассоциативных колец и алгебр, кроме, быть может, аксиомы ассоциативности умножения. Первые примеры неассоциативных колец (Н. к.) и неассоциативных алгебр (Н. а.), не являющихся ассоциативными, появились в сер. 19 в. ( Кэли числа и вообще гиперкомплексные числа). Если в ассоциативном кольце (алгебре) рассматривается (вместо обычного) умножение то получается Н. к. (Н. а.), являющееся кольцом Ли (алгеброй Ли). Еще один важный класс Н. к. (Н. а.) пордановы кольца (алгебры): если в ассоциативной алгебре над полем характеристики (или над коммутативным кольцом операторов с 1 и 1/2) ввести операцию то полученное кольцо является йордановым.

Теория Н. к. и а. развилась в самостоятельное направление алгебры, имеющее много точек соприкосновения с другими частями математики, а также с физикой, механикой, биологией и др. Центральная часть теории Н. к. и а.это теория т. н. колец и алгебр, близких к ассоциативным: лиевых, альтернативных, йордановых, мальцевских колец и алгебр и нек-рых их обобщений (см. Ли алгебра, Альтернативные кольца и алгебры, Йорданова алгебра, Мальцева алгебра).

Один из важнейших вопросов, к-рый ставится при изучении того или иного класса Н. а.,это вопрос об описании простых алгебр как конечномерных, так и бесконечномерных. При этом описание понимается по модулю какого-то "классического" класса, содержащегося в данном (так, для альтернативных колец описание простых алгебр дается по модулю ассоциативных колец, для мальцевских по модулю лиевых, для йордановых по модулю специальных йордановых и т. д.). С этой точки зрения различные классы Н. а. можно разделить на те, в к-рых "много" простых алгебр, и те, в к-рых их "мало". Типичными классами алгебр, в к-рых много простых алгебр, являются классы ассоциативных, лиевых и специальных йордановых алгебр. Именно, в этих классах справедлива следующая теорема вложения: любая ассоциативная (лиева, специальная йорданова) алгебра над полем вложима в простую алгебру того же типа. Много простых алгебр в нек-рых классах алгебр, далеких от ассоциативных,в классах всех алгебр, коммутативных (антикоммутативных) алгебр. В них также справедлива теорема вложения, аналогичная предыдущей.

Задача описания конечномерных простых ассоциативных, лиевых, альтернативных и йордановых алгебр предмет класспч. части теории этих алгебр. В дальнейшем основные результаты о строении простых конечномерных ассоциативных (альтернативных, йордановых) алгебр были перенесены на артиновы кольца того же типа, т. е. на кольца с условием минимальности для односторонних идеалов; в случае йордановых колец под односторонним идеалом понимается квадратичный идеал (см. Йорданова алгебра).

Вызывают интерес классы алгебр, в к-рых "мало" простых алгебр. Типичные примеры таких классов классы альтернативных, мальцевских и йордановых алгебр. В классе альтернативных алгебр, по модулю ассоциативных, простыми являются только (восьмимерные) алгебры Кэли Диксона над ассоциативно-коммутативным центром. В классе мальцевских алгебр, по модулю лиевых, простыми являются только (семимерные) (относительно операции коммутирования [ а, b]) алгебры, присоединенные к алгебрам Кэли Диксона. В классе йордановых алгебр, по модулю специальных, простыми являются (двадцатисемимерные) алгебры Алберта над своим ассоциативным центром (алгебры серии Е)(см. Йорданова алгебра). В более широких классах, таких, как правоальтернативные и бинарно лиевы алгебры, описание простых алгебр еще (1982) не закончено. Известно, что не существует конечномерных простых бинарно лиевых алгебр над полем характеристики 0, отличных от мальцевских, однако неизвестно, справедлив ли этот результат в бесконечномерном случае. В классе правоальтернативных алгебр известно, что хотя все конечномерные простые алгебры из этого класса альтернативны, существуют бесконечномерные простые правоальтернативные алгебры, не являющиеся альтернативными. Все простые алгебры ассоциативны для т. н. -алгебр (при );

эти алгебры естественно возникают из условия, что квадрат идеала есть идеал. Известно описание всех йор-дановых алгебр с двумя порождающими: любая йорда-нова алгебра с двумя порождающими является специальной (теорема Ширшова). Описаны (по модулю ассоциативных алгебр с делением) все йордановы алгебры с делением.

В классах альтернативных, мальцевских и йордано-вых алгебр описаны все первичные кольца (т. е. алгебры, группоид двусторонних идеалов к-рых не содержит делителей нуля). Именно, первичное альтернативное кольцо (с 1/6 в коммутативном кольце операторов) либо ассоциативно, либо есть кольцо Кэли Диксона. Первичное мальцевское кольцо либо является лиевым, либо его центральное замыкание есть (семимерная) алгебра, присоединенная к алгебре Кэли Диксона. Первичная невырожденная йорданова алгебра либо специальна, либо является кольцом Алберта (йорданово кольцо Аназ. кольцом Алберта, если его ассоциативный центр Zсостоит из регулярных элементов и алгебра (двадцатисемимерная) алгебра Алберта над своим центром ).

В нек-ром смысле противоположными к простым и первичным алгебрам являются нильалгебры. В случае алгебр с ассоциативными степенями, не являющихся антикоммутативными (таких, как ассоциативные, альтернативные, йордановы и др.), нильалгебры определяются как алгебры, в к-рых каждый элемент в нек-рой степени равен нулю; в случае антикоммутативных алгебр (т. е. алгебр с тождеством напр, лиевых, мальцевских и бинарно лиевых алгебр) нильалгебры это то же, что иэнгелевы алгебры, т. е. алгебры с условием

В альтернативных (в частности, ассоциативных) алгебрах любая нильалгебра ограниченного индекса (т. е. с тождеством ) является локально нильпотентной, а если в ней нет т- кручения (т. е. mx=0 Ю х=0) при m<=n, то она разрешима (для ассоциативных нильпотентна). Проблема Ширшова о локальной нильпотентности йордановых нильалгебр ограниченного индекса решена положительно. Неизвестно (1982), существует ли простое ассоциативное нилькольцо.

В случае алгебр Ли вопрос о локальной нильпотентности энгелевых алгебр Ли решается теоремой Кострикина: любая алгебра Ли с тождеством

над полем характеристики р>n является локально нильпотентной. Из этой теоремы следует положительное решение ослабленной проблемы Бёрнсайда для групп показателя р. Вообще, круг проблем, связанный с локальной нильпотентностью нильалгебр, наз. проблемами бёрнсайдовского типа. К проблемам бёрнсайдовского типа относится также проблема Куроша о локальной Конечности алгебраич. алгебр. Альтернативная (в частности, ассоциативная) алгебраич. алгебра Аограниченной степени (т. е. степени многочленов, к-рым удовлетворяют элементы алгебры А, ограничены в совокупности) локально конечна. В общем случае проблемы бёрнсайдовского типа (такие, как проблема локальной нильпотентности ассоциативных нильколец и др.) имеют отрицательное решение.