Математическая энциклопедия - нётерово кольцо

левое (правое)кольцо А, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий:

1) Алевый (правый) нётеров модуль над собой;

2) любой левый (правый) идеал в Аимеет конечный базис;

3) любая строго возрастающая цепочка левых (правых) идеалов в Аобрывается на конечном номере.

Примером Н. к. может служить любое кольцо главных идеалов, в к-рых любой идеал имеет одну образующую.

Н. к. названы по имени Э. Нётер (Е. Noether), систематически исследовавшей такие кольца и перенесшей на них ряд результатов, известных ранее только при более жестких ограничениях (напр., теорию примарного разложения Л аскера).

Кольцо нётерово справа не обязано быть нётеровым слева и наоборот. Напр., пусть Акольцо матриц вида , где целое рациональное число и рациональные числа с обычным сложением и умножением. Тогда Анётерово справа, но не нётерово слева, т. к. левый идеал элементов вида не имеет конечного базиса.

Факторкольцо и конечная прямая сумма Н. к. снова нётеровы, но подкольцо Н. к. может не быть нётеровым. Напр., кольцо многочленов над пек-рым полем от бесконечного числа переменных не является нётеровым, хотя оно содержится в своем поле частных, к-рое нётерово.

Если Анётерово слева кольцо, то кольцо многочленов А[х]также нётерово слева. Аналогичное свойство справедливо и для кольца формальных степенных рядов над Н. к. В частности, кольца многочленов вида или где Кнек-рое поле, а кольцо целых чисел, а также любые их факторкольца являются нётеровыми. Любое артиново кольцо нётерово. Локализация коммутативного Н. к. Аотносительно нек-рой мультипликативной системы Sснова является Н. к. В коммутативном Н. к. Адля любого идеала не такого, что все элементы вида l+m, где , не являются делителями нуля, выполняется соотношение . Это соотношение означает, что любой такой идеал m определяет на Аотделимую nt-адическую топологию. В коммутативном Н. к. любой идеал представим в виде несократимого пересечения конечного числа примарных идеалов. Хотя такое представление не однозначно, но однозначно определены число идеалов в представлении и множество простых идеалов, ассоциированных с данными примерными идеалами.

Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979; [2] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Фейс К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. с англ., т. 1, М., 1977.

Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985