Математическая энциклопедия - особая точка

-1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого-либо пути на плоскости этого переменного.

Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым вейерштрассовым элементом (U(z, R), fz), состоящим из степенного ряда

и его круга сходимости

с центром и радиусом сходимости R>0. Рассмотрим всевозможные пути , т. е. непрерывные отображения отрезка в расширенную комплексную плоскость , начинающиеся в центре этого элемента . Если аналитич. родолжение данного элемента возможно вдоль любого такого пути в любую точку , то получающаяся при этом полная аналитич. ция f(z) сводится к константе: f(z)=const. Для нетривиальных же аналитич. ций f(z)const характерно существование препятствии для аналитич. родолжения вдоль нек-рых путей L.

Пусть точка арасширенной плоскости С расположена на пути

, и на пути

, причем аналитич. родолжение вдоль L1 и L2 осуществимо во все предшествующие точки z=j1(t), , и . Два таких пути L1 и L2 наз. эквивалентными по отношению аналитич. родолжению данного элемента (U(z, R), fz). в точку а, если для любой окрестности V(а).точки ав С существует такое число , что вейерштрассов элемент, получаемый из (U(z, R), fz) посредством аналитич. родолжения вдоль L1 до какой-либо точки , может быть продолжен вдоль нек-рого пути, расположенного в V(a), в элемент, получаемый посредством продолжения вдоль L2 из (U(z, R), fz). до какой-либо точки z"=j2(t"), t2-e<t"<t2.

Если аналитич. родолжение в точку аосуществимо вдоль нек-рого пути L, то оно возможно и вдоль всех путей класса эквивалентности {L}, содержащего L. В этом случае пара (a, {L}).наз. регулярной, или правильной; она определяет однозначную регулярную ветвь аналитич. ции f(z) в окрестности точки V(а).

Если же аналитич. родолжение вдоль нек-рого пути , проходящего через , осуществимо во все точки , , предшествующие а, но не осуществимо в точку , то аесть особая точка при аналитическом продолжении элемента (U(z, R), fz) вдоль пути L. В этом случае она будет особой и при продолжении вдоль всех проходящих через апутей класса эквивалентности {L}. Пара (a, {L}), состоящая из точки и класса эквивалентности {L} путей L, проходящих через а, для каждого из к-рых точка аособая, наз. особой точкой аналитической функции f(z), определяемой элементом (U(z, R), fz). Две О. т. (a, {L}).и (b, {M}).считаются совпадающими, если а=b и совпадают классы{L} и {М}. При этом точка арасширенной комплексной плоскости наз. проекцией, или z-коордииатой, О. т. (a, {L});говорят также, что О. т. (a, {L}).расположена над точкой . В общем случае над одной и той же точкой могут располагаться несколько и даже счетное множество различных особых и регулярных пар (a, {L}), получающихся при аналитич. родолжении одного и того же элемента (U(z, R), fz).

Если радиус сходимости исходного ряда (1) , то на окружности круга сходимости U(z, R).непременно имеется хотя бы одна особая точка аэлемента (U(z, R), fz), то есть О. т. аналитич. ции f(z) при продолжении вдоль путей , класса {L} таких, что при . Иначе говоря, О. т. элемента (U(z, R), fz) это такая точка , что непосредственное аналитич. родолжение элемента (U(z, R), fz) из круга U(z, R).в любую окрестность V(а).невозможно. В этой ситуации и вообще во всех случаях, когда отсутствие явного описания класса путей {L} не может повести к недоразумениям, ограничиваются обычно только указанием z-координаты О. т. а. Изучение расположения О. т. аналитич. ции в зависимости от свойств последовательности коэффициентов исходного элемента (U(z, R), fz) является одним из важных направлений исследований в теории функций (см. Адамара теорема мультипликационная, Звезда, элемента функции, а также [1], [3], [5]). Известно, напр., что О. т. ряда

где натуральное число, заполняют всю границу его круга сходимости U(0,1), хотя сумма этого ряда непрерывна всюду в замкнутом круге

Здесь окружность Г есть естественная граница аналитич. ции f0(z), аналитич. родолжение f0(z) за пределы круга U(0, 1). невозможно. Пусть в достаточно малой окрестности точки (или ) аналитич. родолжение элементов, получаемых вдоль путей определенного класса {L}, возможно во все точки, отличные от а, т. е. по всем путям, расположенным в проколотой окрестности V'(a) = = (соответственно V'()=); тогда О. т. (a, {L}).наз. изолированной особой точкой. Если при этом аналитич. родолжение элементов, получаемых вдоль путей класса {L}, по всевозможным замкнутым путям, расположенным в V(а), не изменяет этих элементов, то изолированная О. т. (a, {L}).наз. особой точкой однозначного характера. Такая О. т. может быть полюсом или существенно особой точкой: если существует бесконечный предел lim f(z)= при стремлении вдоль путей класса {L}, то О. т. однозначного характера (a, {L}) наз. полюсом;если не, существует никакого конечного или бесконечного предела lim f(z) при стремлении z->a вдоль путей класса {L}, то (a, {L})-существенно особая точка;случай конечного предела соответствует регулярной паре (a, {L}). Если же аналитич. родолжение элементов, получаемых вдоль путей класса {L}, по замкнутым путям, окружающим в V' (а).точку а, изменяет эти элементы, то изолированная О. т. (a, {L}).наз. ветвления точкой, или особой точкой многозначного характера. Класс точек ветвления, в свою очередь, подразделяется на алгебраические точки ветвления и трансцендентные точки ветвления (включая логарифмические точки ветвления). Если после нек-рого конечного числа однократных обходов точки ав одном и том же направлении в V' (а). элементы, получаемые вдоль путей класса {L}, принимают исходный вид, то ({a, {L}).есть алгебраич. точка ветвления и число т-1 наз. ее порядком. В противном случае, когда обходы точки a дают все новые и новые элементы, (a, {L}).есть трансцендентная точка ветвления.

Напр., для функции

точки (для всех путей) являются алгебраич. точками ветвления порядка 5. Как однозначную функцию точки f(z) можно представить только на соответствующей римановой поверхности S, состоящей из 6 листов над , определенным образом соединенных над точками . Кроме того, над точкой а=1 расположены три правильные ветви f(z), однозначные на трех соответствующих листах S;на одном листе Sрасположен полюс второго порядка и на двух листах S - полюсы первого порядка. Вообще, привлечении понятия римановой поверхности оказывается весьма удобным и плодотворным при изучении характера О. т.

Если радиус сходимости исходного ряда (1) , то он представляет целую функцию f(z), голоморфную во'всей конечной плоскости С. Такая функция в случае имеет единственную изолированную О. т. однозначного характера; если при этом

полюс, то f(z) есть целая рациональная функция, или многочлен; если же

существенно особая точка, то f(z) есть целая трансцендентная функция.

Мероморфная функция f(z) в конечной плоскости С получается, когда аналитич. родолжение ряда (1) приводит к однозначной аналитич. ции f(z) в С, имеющей в С в качестве О. т. только полюсы. Если при этом и есть полюс или регулярная точка, то общее число всех полюсов f(z) в расширенной плоскости конечно и f(z) есть рациональная функция. Для трансцендентной мероморфной функции f(z) в бесконечно удаленная точка может оказаться предельной точкой полюсов это простейший пример неизолированной О. т. однозначной аналитич. ции. Мероморфная функция в произвольной области определяется аналогично.

Вообще говоря, проекции неизолированных О. т. могут образовывать различные множества точек расширенной комплексной плоскости . В частности, какова бы ни была область , существует аналитич. ция в D, для к-рой Dявляется ее естественной областью существования, а граница Г= дD - естественной границей, так что аналитич. родолжение функции fD(z) за пределы области Dневозможно. При этом естественная граница Г состоит из достижимых и недостижимых точек (см. Граничные элементы). Если точка достижима вдоль путей класса {L} (таких классов может быть и несколько), расположенных целиком, кроме конечной точки а, в области D, то над ней необходимо расположены только О. т. функции, fD(z), т.