Математическая энциклопедия - пфаффа уравнение

уравнение вида

(1)

где дифференциальная 1-форма, функции aj(x), j=1,. . ., п., действительнозначны. Пусть aj(x) С ¹ (О).и векторное поле а(х)=( а 1 (х),. . ., а n (х)).не имеет критич. точек в области D.

Многообразие размерности и класса С ¹ наз. интегральным многообразием П. у. (1), если на M^k. П. у. наз. вполне интегрируемым, если через каждую точку области Dпроходит интегральное многообразие максимально возможной размерности n-1 и притом только одно.

Теорема Фробениуса: для того чтобы П. у. (1) было вполне интегрируемым, необходимо и достаточно выполнение условия

(2)

В этом случае интегрирование П. у. сводится к интегрированию семейства систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В трехмерном евклидовом пространстве П. у. имеет вид

(3)

где Р, Q, R - функции от х, у, z, а условие (2) полной интегрируемости принимает вид

(4)

или

(rot F, F)=0, где F =(P, Q, R).

В этом случае существуют гладкие функции m, U такие, что

и интегральные поверхности П. у. (3) задаются уравнениями U( х, у,z)=const. Если Fесть нек-рое силовое поле, то поле m^-1F имеет потенциальную функцию, равную U. Если П. у. (3) не вполне интегрируемо, то оно не имеет интегральных поверхностей, но может иметь интегральные кривые. Если заданы произвольные функции x=x(t), y=y(t), то (3) будет обыкновенным дифференциальным уравнением для z и кривая x=x(t), y=y(t), z=z(t).будет интегральной.

Постановка задачи об исследовании уравнения (1) для произвольного и о приведении дифференциальной 1-формы w к канонич. виду принадлежит И. Пфаффу [1]. Условие (4) впервые было получено Л. Эйлером в 1755 (см. [2] гл. IX).

Локально любое П. у. с помощью гладкой замены переменных приводится к виду

(5)

где у 0,. . ., у р, z1,. . ., zp - новые независимые переменные . Число 2р+1 наз. классом П. у.; здесь рнаибольшее число такое, что дифференциальная форма степени 2p+l не равна тождественно нулю. При р=0 П. у. вполне интегрируемо. Функции у 0 (х),. . ., y р (х).наз. первыми интегралами П. у. (о), а его интегральные многообразия максимально возможной размерности п-р-1 задаются уравнениями

Системой Пфаффа наз. система уравнений вида

(6) где дифференциальные 1-формы:

Ранг rматрицы ||wjk (х)||наз. рангом системы Пфаффа в точке х. Система Пфаффа наз. вполне интегрируемой, если через каждую точку проходит интегральное многообразие максимально возможной размерности п-r и притом только одно.

Теорема Фробениуса: для того чтобы система Пфаффа (6) была вполне интегрируемой, необходимо и достаточно выполнение условий

Задача об интегрировании любой конечной нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна задаче об интегрировании нек-рой системы Пфаффа (см. [6]).

Получен ряд результатов по аналитич. теории систем Пфаффа. Рассматривалась вполне интегрируемая система Пфаффа

из туравнений, где р, q положительные целые числа, а вектор-функции f( х, у, z), g(x, у,z) голоморфны в точке х=0, у=0, z=0;указаны достаточные условия существования голоморфного в начале координат решения (см. [7]), приведены обобщения на большее число независимых переменных.

Лит.: [1] Рfaff J. F., "Berl. Abh.", 1814-1815, S. 76-135; [2] Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, пер. с лат., М.Л., 1949; [3] Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 6 изд., М., 1970; t4] Богданов Ю.