Математическая энциклопедия - пфаффа проблема

проблема описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы Пфаффа уравнений

(*)

задаваемой набором из qдифференциальных 1-форм в нек-рой области (или на нек-ром многообразии), линейно независимых в каждой точке. Подмногообразие наз. интегральным многообразием системы (*), если ограничение форм q^a на Nтождественно равно нулю. П. п. была поставлена И. Пфаффом (J. Pfaff, 1814).

С геометрия, точки зрения система (*) определяет (п-q)-мерное распределение ( Пфаффа структуру).в М, т. е. поле

(п-q)-мерных подпространств, а П. п. состоит в описании подмногообразий максимальной возможной размерности, касающихся этого поля. Важность П. п. определяется тем, что интегрирование произвольного уравнения с частными производными может быть сведено к (соответствующим образом уточненной) П. п. Напр., интегрирование уравнения 1-го порядка сводится к П. п. для уравнения Пфаффа на многообразии (вообще говоря, с особенностями), задаваемом в пространстве уравнением

Вполне интегрируемая система Пфаффа (а также одно уравнение Пфаффа постоянного класса) локально может быть приведена к простому канонич. виду. В этих случаях решение П. п. сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае (в классе гладких функций) П. п. не решена (1983). В аналитич. случае П. п. была решена Э. Картаном (Е. Cartan) в его теории систем в инволюции. Формулировка основной теоремы Картана основана на понятии регулярного интегрального элемента, k-мерное подпространство Ek касательного пространства Т Х М наз. k- мерным интегральным элементом системы (*), если

Подпространство S( Е k).кокасательного пространства , порожденное 1-формами , где операция внутреннего умножения, наз. полярной системой интегрального элемента Е k. Интегральный элемент Ek наз. регулярным, если существует такой флаг , для н-рого

где максимум берется по всем i-мерным интегральным элементам Е'i, содержащим Ei-1. Теорема Картана утверждает следующее: пусть Nесть k-мерное интегральное многообразие системы Пфаффа с аналитич. оэффициентами и для нек-рого касательное пространство TXN является регулярным интегральным элементом. Тогда для любого интегрального элемента размерности k+1 существует в некрой окрестности точки хинтегральное многообразие , локально содержащее N, для к-рого Теорема Картана была обобщена на произвольные дифференциальные системы, задаваемые идеалами в алгебре дифференциальных форм на многообразии (теорема Картана Кэлера ).

Лит.:[1] Картан Э., Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения, пер. с франц., М., 1962; [2] его же, Интегральные инварианты, пер. с франц., М.Л., 1940; [3] Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М.Л., 1947; [4] Стериберг С., Лекции по дифференциальной геометрии, пер. с англ., М., 1970. Д. В. Алексеевский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985