Математическая энциклопедия - пфаффа структура

распределение,векторное подрасслоение касательного расслоения многообразия М. Размерность рслоев Р х=p^-1 (х).наз. размерностью П. с. p, а число q=п-р (где n=dim М) - рангом, или коразмерностью. П. с. размерности рможно рассматривать как поле р-мерных подпространств на многообразии М.

Обычно П. с. задают системой Пфаффа уравненийq¹=. . . =q^q=0 или, двойственным образом, указанием векторных полей, значения к-рых в произвольной точке образуют базис подпространства Р х.

Подмногообразие наз. интегральным многообразием П. с., если для всех . П. с. наз. вполне интегрируемой, если через каждую точку проходит р-мерное интегральное многообразие или, что эквивалентно, если локально она может быть задана системой уравнений Пфаффа dy^l=. ..=dy^q=0, где y¹, . . ., у ⁿ - нек-рые локальные координаты в М. Это понятие соответствует понятию вполне интегрируемой системы уравнений Пфаффа. Пусть Г (p) пространство сечений расслоения , а L(p) - пространство дифференциальных 1-форм, обращающихся в нуль на Р. Согласно теореме Фробениуса, П. с. p вполне интегрируема тогда и только тогда, когда пространство Г (p) является подалгеброй алгебры Ли D(М).векторных полей на Мили, что эквивалентно, если идеал, порожденный пространством L(p). в алгебре W(М). дифференциальных форм, замкнут относительно оператора внешнего дифференцирования.

Пусть А(p) алгебра Ли инфинитезимальных автоморфизмов П. с. p, т. е. множество векторных полей , для к-рых . Алгебра А(p) есть подалгебра алгебры Ли D(M).и одновременно модуль над кольцом F(М).гладких функций на М. Фактормодуль Г(p)/А(p) характеризует степень неинтегрируемости П. с.

П. с. p наз. регулярной, если размерность пространства не зависит от В этом случае А(p) есть пространство сечений вполне интегрируемой П. с. , к-рая наз. характеристической системой П. с. p. Ранг структуры p' наз. классом П. с. p, он равен наименьшему возможному числу координат локальной системы координат, через к-рые выражаются все 1-формы из L(p). Класс регулярной П. с. ранга 1 (т. е. поля гиперплоскостей) нечетен и образует полную систему локальных инвариантов: локально в некрой системе координат у ⁱ П. с. класса 2k+1 задается уравнением Пфаффа

Другим важным локальным инвариантом П. с. является ее род, указывающий размерность максимальных интегральных неособых многообразий (см. Пфаффа проблема). Полная система локальных инвариантов П. с. размерности рпри 1 < р< п -1 неизвестна.

П. с. можно рассматривать как G-структуру бесконечного типа, где G - группа линейных преобразований пространства Rⁿ, оставляющих инвариантной р-мерную координатную плоскость. Ее структурная функция 1-го порядка соответствует F(M).билинейному отображению , к-рое определяется коммутированием векторных полей. Пространство А(p) совпадает с ядром векторнозначной билинейной формы с.

Лит. см. при ст. Пфаффа проблема. Д. В. Алексеевский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985