Математическая энциклопедия - пфаффиан

знакопеременной матрицы X многочлен PfXот элементов матрицы X, квадрат к-рого равен detX. Точнее, если Х=||xij|| знакопеременная (т. е. удовлетворяющая условиям xij ==-xji, xii=0) матрица порядка 2n над коммутативно-ассоциативным кольцом Ас единицей, то PfX есть элемент кольца А, вычисляемый по формуле

где суммирование ведется по всевозможным разбиениям s множества (1, . . ., 2n} на непересекающиеся пары {ia ja}, причем считается, что ia<ja, a=l, . . ., n, a e(s) - знак подстановки

П. обладает следующими свойствами:

1) Pf ( С ^T ХС) = (det С) (Pf X).для любой матрицы Спорядка 2n;

2) (Pf X)² = detX;

3) если Е - свободный A-модуль с базисом е 1 . . ., е 2n и

то

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966. А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985