Математическая энциклопедия - плюригармоническая функция

функция u=u(z).от пкомплексных переменных z=(z1 . . ., zn) в области Dкомплексного пространства имеющая в Dнепрерывные частные производные но координатам до 2-го порядка включительно и удовлетворяющая в Dсистеме n² уравнений:

(1)

Применяя формальные производные

можно записать систему (1) в более компактной форме:

(2)

Значение класса П. ф. определяется тем, что действительная и мнимая части любой голоморфной в области Dфункции j=u+iv являются П. ф. в D;такие две (действительные) П. ф. наз. сопряженными. Обратно, если дана П. ф. ц в окрестности Vточки , то в этой окрестности существует голоморфная функция f=u+iv, действительная часть к-рой равна и. Задача определения этой голоморфной функции f сводится к нахождению сопряженной П. ф. У по формуле

где интеграл не зависит от пути в силу (1).

Вообще говоря, рассматриваются сами по себе и комплексные П. ф., определяемые как решения системы (1) или (2). При n>1 П. ф. составляют правильный подкласс класса кратногармонических функций, к-рый, в свою очередь, есть правильный подкласс класса гармонических функций:при n=1 все эти три класса совпадают. С другой стороны, при действительные П. ф. составляют правильный подкласс класса плюрисубгармонических функций, к-рый, в свою очередь, при n>1 является правильным подклассом класса субгармонических функций.

Кроме общих свойств гармонич. функций, П. ф. при n>1 обладают характерными свойствами, обусловленными в основном переопределенностью системы (1) или (2) в этом случае. Пусть, напр., при n>1 П. ф. и(z) в единичном поликруге

непрерывна в замкнутом поликруге . При этом даже ее граничные значения на остове , являющемся правильной частью всей границы дUⁿ, не могут быть заданы в виде произвольной непрерывной функции , они удовлетворяют определенным дополнительным условиям. Таким образом, задача Дирихле в классе П. ф. с данными на остове разрешима лишь при специально подобранных граничных данных (см. [3]).

Лит.:[1] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [2] Соломенцев Е. Д., в кн.: Итоги науки. Математаческий анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1962, М., 1964, с.83-100; [3] Рудин У., Теория функций в поликруге, пер. с ангд., М., 1974. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985