Математическая энциклопедия - плюккера интерпретация

модель, реализующая геометрию трехмерного проективного пространства Р 3 в гиперболич. пространстве ³S5. П. и. основана на специальном истолковании плюккеровых координат прямой, определяемых для любой прямой пространства Р 3.

При проективных преобразованиях пространства Р 3 плюккеровы координаты преобразуются линейно. С помощью плюккеровых координат прямых пространства Р 3 устанавливается взаимно однозначное соответствие между прямыми пространствами Р 3 и точками проективного пространства Р 5, координаты к-рых численно равны плюккеровым координатам прямых пространства Р 3.

Прямые пространства Р 3 изображаются точками невырожденной квадрики пространства P5, индекс к-рой равен трем.

Если считать эту квадрику за абсолют и определить в пространстве Р 5 проективную (неевклидову) метрику, то получается пятимерное гиперболич. пространство ³S5. При каждой коллинеации и корреляции пространства Р 3 происходит линейное преобразование плюккеровых координат, т. е. каждая коллинеация н корреляция изображаются коллинеацией пространства Р 5, переводящей в себя абсолют. Эти коллинеации тем самым являются перемещениями пространства ³S5. Перемещения пространства ³S5 изображают или коллинеации или корреляции пространства Р 3.

Каждому линейному комплексу пространства Р 3 сопоставляется точка пространства ³S5. Проективную геометрию пространства Р 3 можно рассматривать как неевклидову геометрию гиперболич. пространства ³S5. Именно эта интерпретация геометрии пространства Р 3 в пространстве ³S6 наз. интерпретацией Плюккера в связи с ролью плюккеровых координат.

Если в качестве основного образа пространства Р 3 берется прямая, то геометрию этого пространства можно рассматривать как геометрию на абсолюте пространства ³S5.

Группа проективных преобразований пространства Р 3 изоморфна группе перемещений пространства ³S5, и всякому инволюционному проективному преобразованию пространства Р 3 соответствует инволюционное перемещение пространства ³S5. Напр., нуль-системе в пространстве Р 3 соответствует отражение от точки и от ее полярной гиперплоскости в пространстве ³S5; инволюционной гомологии в пространстве Р 3 соответствует гиперболический паратактич. сдвиг на полупрямую в пространстве ³S6 и т. д. Каждой связной компоненте группы проективных преобразований пространства Р 3 соответствует связная компонента группы перемещений пространства ³S5.

1) Коллинеациям пространства Р 3 с положительным определителем, включая тождественное преобразование, отвечают перемещения пространства ³S5 с определителем, равным +1 (сюда включаются тождественные преобразования).

2) Корреляциям пространства Р 3 с положительным определителем (включая нуль-систему) отвечают перемещения пространства ³S5 с определителем, равным 1, переводящие собственную и идеальную области соответственно в себя (включая отражения от точки).

3) Коллинеациям пространства Р 3 с отрицательным определителем отвечают перемещения пространства ³S5 с определителем, равным +1, переводящие собственную область в идеальную и обратно, эта компонента содержит гиперболич. сдвиг на полупрямую.

4) Корреляциям пространства Р 3 с отрицательным определителем отвечают перемещения пространства ³S5 с определителем, равным -1, переводящие собственную область в идеальную и обратно.

Образам симметрии, соответствующим в пространствах Р 3 и ³S5, сопоставляются числовые инварианты, между к-рыми существуют определенные связи.

П. и. применяется в исследованиях групп перемещений трехмерных неевклидовых пространств S3, ¹S3, ²S3, к-рые изоморфны определенным подгруппам группы перемещений пространства ³S6. Устанавливается также взаимосвязь групп движений этих трехмерных пространств (эллиптического, гииерболического) с группами перемещений пространств низших размерностей (см. Фубини интерпретация, Котельникова интерпретация). С помощью П. и. изучается интерпретация трехмерного симплектич. пространства Sp3 в пространстве ³S5. П. и. предложена Ю. Плюккером [1].

Лит.:[1] Р1uсkеr J., Neue Geometric des Raumes gеgrundet auf die Betrachtung dor geraden Linie als Raumelement, Lpz., 1868-69; [2] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969; [3] Клейн Ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.Л., 1939. Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985