Математическая энциклопедия - плюрисубгармоническая функция

действительная функция u=u(z),, п комплексных переменных z=(zl,. . ., zn).в области Dкомплексного пространства , удовлетворяющая следующим условиям: 1) и(z) полунепрерывна сверху всюду в D;2) u(z⁰+la). есть субгармоническая функция переменного __ в каждой связной компоненте открытого множества для любых фиксированных точек . Функция v(z).наз. плюрисупергарионической функцией, если v(z) есть П. ф. Плюрисубгармонич. функции при n>1 составляют правильный подкласс класса субгармонич. функций, а при n=1 эти два класса совпадают. Наиболее важные примеры П. ф.: ln|f(z)|, ln + |f(z)|, |f(z)|^p, , где f(z) голоморфная функция в D.

Для того чтобы полунепрерывная сверху в области функция , была П. ф., необходимо и достаточно, чтобы для любых фиксированных , |а| = 1 существовало число d=d(z, a)>0 такое, что при 0<r<d выполняется неравенство

Для функций u(z).класса С ²(D) более удобен следующий критерий: u(z) есть П. ф. в D тогда и только тогда, когда эрмитова форма (гессиан функции и)

неотрицательно определена в каждой точке

Помимо общих свойств субгармонич. функций, для П. ф. справедливы следующие: 1) u(z) есть П. ф. в области Dтогда и только тогда, когда u(z) - П. ф. в окрестности каждой точки ; 2) линейная комбинация П. ф. с положительными коэффициентами есть П. ф.; 3) пределы равномерно сходящейся и монотонно убывающей последовательностей П. ф. суть П. ф.;

4) для того чтобы u(z).была П. ф. в области D, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде предела убывающей последовательности П. ф. соответственно классов , где области таковы, что и ;

5) для любой точки среднее значение

по сфере радиуса r, где s2n=2pⁿ/( п-1)! площадь единичной сферы в , есть возрастающая функция по r, выпуклая относительно lnr на отрезке , если шар

расположен в D, причем ; 6) при голоморфных отображениях П. ф. переходит в П. ф.; 7) если u(z).непрерывная П. ф. в области D, Е - замкнутое связное аналитич. одмножество Dи сужение и|Е достигает максимума на Е, то u(z) = const на Е.

Имеют значение для приложений также следующие правильные подклассы класса П. ф. Функция u(z) наз. сильно плюрисубгармонической, если существует выпуклая возрастающая функция

такая, что j^-1(u(z)).есть П. ф. В частности, если j(t)= е ^t, то получают логарифмически плюрисубгармонические функции.

Класс П. ф. и только что названные его подклассы важны для описания различных свойств голоморфных функций и областей комплексного пространства , а также и более общих аналитич. ространств (см. [1] [4], [7]). Напр., класс функций Гартогса Н(D).определяется как. наименьший класс действительных функций в области D, содержащий все функции ln|f(z)|, где f(z) - голоморфная функция в D, и замкнутый относительно следующих операций:

Полунепрерывные сверху функции Гартогса являются П. ф., но не всякая П. ф. есть функция Гартогса. Если D - область голоморфности, то классы полунепрерывных сверху функций Гартогса и П. ф. в Dсовпадают (см. [5], [6]).

Лит.:[1] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1904; [2] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1989; [3] Lеlоng Р., в кн.: Colloque sur les fonctions de plusieurs variables, Bruxelles, 1953, P., 1953, p. 21-40; [4] Bremermann H. J., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1956, v. 82, p. 17-51; [5] его же, "Math. Ann.", 1956, Bd 131, p. 76-86; [6] его же, "Рrос. Amer. Math. Soc.", 1956, v. 7, p. 771-75; [7] Соломенцев Е. Д., в кн.: Итоги науки. Математический анализ. Теория вероятностей. Регулирование. 1982, М., 1964, с. 83-100. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985