Математическая энциклопедия - штёрмера метод

метод Стёрмера,конечно разностный метод решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, не содержащей первой производной от неизвестной функции:

При интегрировании по сетке с постоянным шагом xn=x0+nh, n=1, 2, . . ., расчетные формулы имеют вид:

а) экстраполяционные:

или (в разностной форме)

где

б) интерполяционные:

или (в разностной форме)

где

Первые значения коэффициентов и

При одном и том же kформула б) точнее, но требует решения нелинейной системы уравнений для нахождения значения у п+1. На практике сначала находят приближенное значение решения yn+1 по формуле а), а затем проводят два-три уточнения но формуле

Применение Ш. м. предполагает, что уже известны приближенные значения решения в первых kузлах сетки: у 0, y1, . . ., у k (опорные значения). Эти значения вычисляют по Рунге Кутта методу, либо используя разложение решения по формуле Тейлора. Необходимость использования специальных формул для вычисления значений в начале счета и в случае изменения шага сетки, по к-рой ведется интегрирование, приводит к существенному усложнению расчетных программ на ЭВМ.

Формулы Ш. м. с kчленами в правой части имеют погрешность порядка О(h^k+1). Оценка погрешности аналогична соответствующей оценке для Адамса метода. Можно показать, что для любого kсуществуют устойчивые формулы с погрешностью порядка О(h^k+1).

На практике обычно используются формулы с k=4, 5, 6. Широко используется Нумерова метод, принадлежащий к семейству интерполяционных Ш. м.:

Метод предложен К. Штёрмером (С. Stermer, 1920).

Лит.:[1] Бахвалов Н. С., Численные методы, 2 изд., М., 1975; [2] Lambеrt J. D., Computational methods in ordinary differential equations, N. Y.[a.o.], 1973; [3] МиxлиН С. Г., Смолицкий X. Л., Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений, М., 1965.

С. С. Гайсарян.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985