Математическая энциклопедия - штейна пространство

голоморфно полное пространство,паракомпактноо комплексное аналитич. ространство обладающее следующими свойствами:

1) любое компактное аналитич. одмножество в Xконечно;

2) любой компакт допускает такую открытую окрестность Wв X, что множество

компактно (слабая голоморфная выпуклость).

Комплексное многообразие Мтогда и только тогда является Ш. п., когда М Штейна многообразие. Комплексное пространство является Ш. п. тогда и только тогда, когда этим свойством обладает его редукция. Всякое голоморфно выпуклое открытое подпространство в Ш. п. является Ш. п. Приведенное комплексное пространство штейново тогда и только тогда, когда его нормализация есть III. п. Всякое замкнутое аналитич. одпространство в Ш. п., напр. в есть Ш. п. Всякое конечномерное Ш. п. допускает собственное инъективное голоморфное отображение в нек-рое регулярное в каждой неособой точке. Всякое неразветвленное накрытие Ш. п. есть Ш. п. Прямое произведение двух Ш. п. есть Ш. п. Тем же свойством обладает во многих случаях голоморфное расслоение, база и слой к-рого суть III. п. (напр., если структурной группой является комплексная группа Ли с конечным числом связных компонент). Однако существуют примеры голоморфных расслоений со слоем и базой не являющихся многообразиями Штейна [2] .

Пусть -когерентный аналитич. чок на Ш. п. Тогда справедливы Картана теоремы,:

A) Пространство порождает слой пучка в любой точке

B) для всех q> 0.

Обратно, если для любого когерентного пучка идеалов то X - Ш. п. Область является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда

Из теорем Картана следует, что на Ш. п. всегда разрешима 1-я проблема Кузена, а если -то и 2-я проблема Кузена (см. Кузена проблемы). На любом многообразии Штейна Xразрешима проблема Пуанкаре, т. п,aгруппа не имеет кручения. Если X - многообразие, то Xгомотопически эквивалентно n-мерному клеточному комплексу. С другой стороны, для любой счетной а белевой группы Gи для любого существует область голоморфности такая, что G

Важное направление в теории Ш. п. связано с изучением плюрисубгармонич. функций на них (см. Левви проблема, Псевдовыпуклость и псевдовогнутость). Основной результат здесь состоит в характеризации Ш. н. как пространства, на к-ром существует исчерпывающая ого сильно 1-псевдовыпуклая функция.

Алгебры голоморфных функций на Ш. п. X(т. н. штейновы алгебры) обладают следующими свойствами. Для максимального идеала эквивалентны условия: I замкнут в относительно топологии компактной сходимости; для нек-рой точки I конечно порожден. Если Xконечномерно, то каждый характер имеет вид для нек-рой точки Если два конечномерных Ш. п. с изоморфными алгебрами причем любой изоморфизм 'непрерывен и индуцируется нек-рым изоморфизмом комплексных пространств.

Большую роль в теории III. и. играет т. н. принцип Ока, согласно к-рому многие задачи разрешимы на Ш. п. в классе аналитич. ций тогда и только тогда, когда они разрешимы в классе гладких непрерывных функций. Этому принципу удовлетворяет, напр., 2-я проблема Кузена. Более общим является следующее утверждение: классификация главных аналитических расслоений, базой к-рых является заданное приведенное Ш. п. X, а структурной группой заданная комплексная группа Ли G, совпадает с классификацией тонологич. расслоений с той же базой и структурной группой. Совпадают также группы связных компонент в группах аналитических и непрерывных функций

Лит.:[1] Grаuеrt Н., Rеmmert H., Theorie der Sleinschen Raume, В.Hdlb N. Y., 1977: [2] Demaillу J.-P., "Invent. math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985