Математическая энциклопедия - суммирование расходящихся рядов

построение обобщенных сумм расходящихся рядов с помощью суммирования методов. Если по нек-рому правилу Рряду

относят число s, называемое его суммой ряда, то говорят, что ряд суммируем к сумме s методом суммирования Рили Р-суммируем к сумме s и этот факт обозначается одним из символов

где sn - частичные суммы ряда (*). Числом в этом случае наз. также Р-суммой ряда. Напр., для ряда (*) рассматривают последовательность средних арифметических первых nчастичных сумм ряда

Если при этом имеет предел при то говорят, что ряд (*) суммируем к сумме s средних арифметических методом суммирования и обозначают символом

или

(см. Чезаро методы суммирования).

При таком определении суммы ряда каждый сходящийся ряд суммируем, причем к той же сумме, к к-рой он сходится, и, кроме того, существуют расходящиеся ряды, суммируемые этим методом. Напр., ряд 1 -1+1-1 + ... суммируем указанным методом и его ( С,1)-сумма равна ¹/2.

Определение метода суммирования обычно подчиняется ряду требований. Напр., требуют, чтобы метод суммировал целый класс рядов; чтобы не противоречил сходимости, т. е., будучи применен к сходящемуся ряду, суммировал бы его к той же сумме, к к-рой ряд сходится (см. Регулярные методы суммирования);чтобы из суммируемости рядов

данным методом соответственно к суммам ии vследовала суммируемость ряда

причем к сумме (свойство линейности). См. также Расходящийся ряд.

Лит.:[1] Харди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М-., 1951; [2] Кук Р., Бесконечные матрицы и пространства последовательностей, пер. с англ., М., 1960; [3] Кангро Г. Ф., в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 5-70; [4] Барон С., Введение н теорию суммируемости рядов, Таллин, 1977; [5] Реуегimhоff A., Lectures on summability, В., 1969; [6] Кnорр К., Theory and application on infinite series, N. Y., 1971; [7] Ze11er K., Beekmann V., Theorie der Limitierungsverfahren, 2 Aufl., B,-Hdlb.-N. Y., 1970; [8] Petersen G. M., Regular matrix transformations, L., 1966.

И. И. Волков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985