Математическая энциклопедия - тейлора формула

представление функции в виде суммы еи многочлена Тейлора степени п(n=0, 1, 2, . . .) и остаточного члена. Если действительная функция / одного переменного имеет ппроизводных в точке х 0, то ее Т. ф. имеет вид

f(x) = Pn(x) + rn(x),

где

Тейлора многочлен, а остаточный член r п (х)может быть записан в форме Пеано

Если функция f дифференцируема n+1 раз в нек-рой окрестности точки х 0, то остаточный член в этой окрестности может быть записан в форме Шлёмильха Роша

где р=1,2, . . ., n+1, частным видом к-рой являются форма Лагpанжа

и форма Коши

Если производная порядка n+1 функции f интегрируема на отрезке с концами в точках хи х 0, то остаточный член можно записать в интегральной форме

Т. ф. со всеми указанными формами записи ее остаточного члена обобщается на случай функций нескольких переменных. Т. ф. справедлива и для отображений подмножеств нормированных пространств в подобные же пространства, причем в этом случае остаточный член может быть записан в форме Пеано и интегральной форме.

Т. ф. позволяет изучение ряда свойств определенное число раз дифференцируемой функции свести к существенно более простой задаче изучения этих свойств у соответствующего многочлена Тейлора на этом и основаны разнообразные и многочисленные применения Т. ф., напр. для вычисления пределов функций, исследования их экстремумов, точек перегиба, интервалов выпуклости и вогнутости, сходимости рядов и интегралов, оценки скорости их сходимости или расходимости.

Лит.:[1] Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X., Математический анализ, М., 1979: [2] Никольский С. М., Курс математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1983.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985