Математическая энциклопедия - тейлора ряд

степенной ряд

где числовая функция f определена в нек-рой окрестности точки х 0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Частными суммами Т. р. являются Тейлора многочлены.

Если х 0 - комплексное число, функция f определена в нек-рой окрестности точки x0 во множестве комплексных чисел и дифференцируема в точке х 0, то существует окрестность этой точки, на к-рой функция f является суммой своего Т. р. (1) (см. Степенной ряд). Если же х 0- действительное число, функция f определена в нек-рой окрестности точки х 0 во множестве действительных чисел и имеет в точке х 0 производные всех порядков, то функция f может ни в какой окрестности точки х 0 не быть суммой своего Т. р. Напр., функция

бесконечно дифференцируема на всей действительной оси, не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки х=0, а все коэффициенты ее Т. р. в этой точке равны нулю.

Если функция раскладывается в нек-рой окрестности данной точки в степенной ряд, то такой ряд единствен и является ее Т. р. в этой точке. Однако один и тот же степенной ряд может являться Т. р. для разных действительных функций. Так, степенной ряд, у к-рого все коэффициенты равны нулю, является как Т. р. функции, тождественно равной нулю на всей действительной оси, так и Т. р. функции (2) в точке x=0.

Достаточным условием сходимости Т. р. (1) к действительной функции f на интервале (х 0-h, х0-h)является ограниченность в совокупности всех ее производных на этом интервале.

Т. р. обобщается на случай отображения подмножеств линейных нормированных пространств в подобные же пространства, в частности на числовые функции нескольких переменных и функции матричного аргумента.

Ряд (1) был опубликован Б. Тейлором (В. Taylor) в 1715; ряд. сводящийся к ряду (1) простым преобразованием, был опубликован И. Бернулли (I. Bernoulli) в 1694.

Лит.:[1] Ильин В. А., Садовничий В. А., С ендов Б. X., Математический анализ, М., 1979; [2] Никольский С. М., Курс матемачического анализа, 3 изд. т. 1, М., 19S3.

Л. Д. Кудрявцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985