Математическая энциклопедия - тождественная истинность

логическая истинность, общезначимоеть,свойство формул языка исчисления предикатов, означающее истинность формулы во всех ее интерпретациях и цри всех допустимых значениях ее свободных переменных. Так, для формул, содержащих только один двуместный предикатный символ р и переменные одного сорта (т. е. такие переменные, к-рые при интерпретации должны иметь одну и ту же область пробегания), интерпретациями служат пары ( М, R), где М - произвольное непустое множество, а произвольное двуместное отношение на М. Допустимыми значениями свободных переменных являются произвольные элементы из М. Истинность формулы при значениях переменных х 1,... ., х n соответственно определяется индуктивным образом по построению формулы в соответствии с подразумеваемым логич. смыслом входящих в формулу логич. связок и кванторов и при условии, что связанные переменные пробегают множество М, а предикатный символ обозначает отношение R.

Пусть даны формула и набор переменных, содержащий все свободные переменные формулы и пусть обозначает множество всех наборов (a1, . . ., а п) элементов из М, для к-рых формула истинна в ( М, R). Множества вида можно индуктивно определить следующим образом (при этом считаем, что логич. символами формул являются

если имеет вид

где обозначают соответственно пересечение, разность и проекцию вдоль (п+1)-й координаты (т. е. образ относительно отображения множеств.

Тождественная истинность формулы со свободными переменными х 1,. ..., х n означает тогда, что для любой интерпретации ( М, R )всякий кортеж (a1, . . ., а п )элементов из Мпринадлежит множеству При п=0множество либо пусто, либо одноэлементно. Формула

является тождественно истинной. Обратная же импликация не является тождественно истинной формулой.

В случае когда интерпретация фиксирована, тождественно истинными наз. иногда формулы, истинные в данной интерпретации при любых значениях ее свободных переменных.

Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; [2] Шенфилд Дж., Математическая логика, пер. с англ., М., 1975.

В. Н. Гришин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985