Математическая энциклопедия - тяготения теория

раздел теории поля в теоретич. и математич. физике, широко использующий математич. методы исследования. Традиционным предметом Т. т. является изучение гравитационного взаимодействия между материальными объектами, сказывающегося на их движении и структуре (см. Гравитация);предмет Т. т. охватил, кроме анализа самого гравитационного поля, также структуру пространства-времени в более широком плане, проблемы квантования гравитации и ее связь с теорией элементарных частиц. Соответственно и математич. аппарат, используемый в Т. т., расширился с теории дифференциальных уравнений 2-го порядка с обыкновенными и частными производными до дифференциальной (псевдоримановой) геометрии, теории функций многих комплексных переменных и комплексных многообразий, топологии, теории групп и спинорного и твисторного исчисления. Все чаще применяются расчеты на ЭВМ (в том числе аналитические).

Основы Т. т. были заложены в кон. 16 нач. 18 вв. в работах Г. Галилея (G. Galilei) и И. Ньютона (I. Newton). В классич. Т. т. Ньютона уравнение для потенциала гравитационного поля (поля тяготения) имеет вид уравнения Пуассона где гравитационная постоянная Ньютона, плотность массы источников поля. Напряженность поля определяется как а сила, с к-рой поле действует на точечную пробную массу т,- как F^j=mg (пробная масса сама не возмущает поля). Второй закон Ньютона дает тогда уравнения движения пробной массы. В конкретной постановке Т. т. Ньютона приводит к ряду задач, в частности, баллистики и небесной механики. Она по сей день остается достаточно точной для описания практически всей небесной механики. Как теория потенциала Т. т. Ньютона послужила образцом для создания теории электростатики, а в дальнейшем представления о физическом поле, сформировавшиеся в электродинамике Максвелла, в свою очередь повлияли на генезис релятивистской Т. т. Эйнштейна.

А. Эйнштейн (A. Einstein) начал построение новой Т. т. с внесения в теорию принципа конечности скорости распространения взаимодействии (в том числе гравитационного) и принципа эквивалентности. Первые шаги в этом направлении он сделал в 1907, а в статье (1913) совместно с М. Гроссманом (М. Grossmann) определил путь построения релятивистской Т. т. (общей теории относительности ОТО) как геометризацию физики. Мысль о реальности неевклидовой геометрии приходила К. Гауссу (С. Gauss) и Н. И. Лобачевскому, в достаточно определенной форме она высказывалась Б. Риманом (В. Riemann) и У. Клиффордом, (W. Clifford), однако лишь А. Эйнштейн связал тяготение с геометрией не 3-мерного пространства, а 4-мерного пространства-времени, что сыграло решающую роль. В окончательной форме уравнения гравитационного ноля были даны Д. Гильбертом (D. Hilbert, 1915) и самим А. Эйнштейном (1916, ранее он корректно записал их лишь для поля в вакууме). В релятивистской Т. т. геомотрич. характеристики пространственно-временного многообразия одновременно играют роль переменных, описывающих гравитационное поле. В квадрате интервала к-рый метризует пространство-время, индефинитный метрический тензор (здесь сигнатура + -) играет роль многокомпонентного гравитационного потенциала. Уравнение светового конуса ds²=0используется в формулировке общерелятивистского принципа причинности. Коэффициенты связности, определяющие параллельный перонос и ковариантное дифференцирование играют роль напряженности. Римана тензор кривизны выражается как комбинация производных такой напряженности, т. е. характеризует напряженность поля. Свернутый тензор кривизны тензор Риччи (лдивергенция напряженности

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985